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已知函数 ${\displaystyle f(x)=(a+1)x-(x+1)\ln x}$.

1. 当 ${\displaystyle a=0}$ 时, 求曲线 ${\displaystyle y=f(x)}$ 在点 ${\displaystyle (1,f(1))}$ 处的切线方程.
2. 若函数 ${\displaystyle f(x)}$ 有两个极值点 ${\displaystyle x_1,x_2}$, 且 ${\displaystyle x_1<x_2}$, 求证: ${\displaystyle 2<x_1+x_2<3{\mathrm{e}}^{a-1}-1}$.

${\displaystyle f(x)}$ 的定义域是 ${\displaystyle (0,+\mathrm{\infty })}$. ${\displaystyle f^{\prime }(x)=a-\ln x-\frac{1}{x}}$.

1. 解 ${\displaystyle a=0}$ 时, ${\displaystyle f(1)=1}$, ${\displaystyle f^{\prime }(1)=-1}$, 所以切线方程是 ${\displaystyle y=-x+2}$.
2. 证明 这意味着 ${\displaystyle \ln x_1+\frac{1}{x_1}=\ln x_2+\frac{1}{x_2}=a}$. 到此, 本题就是我偶像的博客中的这题 . 请自行查阅, 我就不画蛇添足了.