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${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 满足 ${\displaystyle \frac{a}{\cos A}}$, ${\displaystyle \frac{b}{\cos B}}$, ${\displaystyle \frac{c}{\cos C}}$ 成等差数列, 求 ${\displaystyle \frac{\sin B}{\cos A\cos C}}$ 的最小值.

由题意 $$\frac{2b}{\cos B}=\frac{a}{\cos A}+\frac{c}{\cos C}.$$ 首先因为 ${\displaystyle \cos A,\cos B,\cos C}$ 中至多有一个非正数, 显然不能是 ${\displaystyle \cos B}$, 所以 ${\displaystyle \cos B>0}$. 然后根据正弦定理 $$\frac{2\sin B}{\cos B}=\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\sin (A+C)}{\cos A\cos C}=\frac{\sin B}{\cos A\cos C},$$ 这样 ${\displaystyle \cos A\cos C=\frac{\cos B}{2}}$. 进一步$$\begin{array}{rl}& \cos B=\cos (A+C)+\cos (A-C)=-\cos B+\cos (A-C)\\ \Rightarrow & \cos B=\frac{1}{2}\cos (A-C)\le \frac{1}{2},\end{array}$$ 所以 ${\displaystyle B}$ 的最小值是 ${\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, 取等条件为等边三角形. 这样 $$\frac{\sin B}{\cos A\cos C}=2\tan B\ge 2\sqrt{3}.$$ 前面的 ${\displaystyle \cos B>0}$ 规避了负数段的讨论.