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已知函数 ${\displaystyle f(x)=\ln {\displaystyle \frac{x}{2-x}+ax+b(x-1{)}^3}}$.

1. 若 ${\displaystyle b=0}$, 且 ${\displaystyle f^{\prime }(x)\ge 0}$, 求 ${\displaystyle a}$ 的最小值;
2. 证明：函数 ${\displaystyle y=f(x)}$ 的图像是中心对称图形;
3. 若 ${\displaystyle f(x)>-2}$ 当且仅当 ${\displaystyle 1<x<2}$, 求 ${\displaystyle b}$ 的取值范围.

首先明确 ${\displaystyle f}$ 的定义域是 ${\displaystyle (0,2)}$.

1. 解 此时$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)=\frac{2}{x(2-x)}+a\ge 0,\mathrm{\forall }0<x<2.\end{array}$$
   而 ${\displaystyle x(2-x)\le {\displaystyle {\left(\frac{x+(2-x)}{2}\right)}^2=1(\text{“}=\text{”}⟺x=1)}}$, 因此只需要 ${\displaystyle f^{\prime }(1)=2+a\ge 0\Rightarrow a_{min}=-2}$.

2. 证明 注意到$$\begin{array}{r}f(1-t)+f(1+t)=\ln (\frac{1-t}{1+t}\cdot \frac{1+t}{1-t})+a[(1-t)+(1+t)]+b(-t^3+t^3)=2a,\end{array}$$
   且定义域 ${\displaystyle (0,2)}$ 关于 ${\displaystyle x=1}$ 对称，因此 ${\displaystyle f(x)}$ 的图像是以 ${\displaystyle (1,a)}$ 为对称中心的中心对称图形.

3. 解 由题意，${\displaystyle f(x)>-2⟺1<x<2}$, 因此 ${\displaystyle f(x)\le -2⟺0<x<1}$. 由 ${\displaystyle f}$ 的连续性可知 ${\displaystyle f(1)=-2\Rightarrow a=-2}$. 这样，结合 2， "${\displaystyle f(x)>-2}$ 当且仅当 ${\displaystyle 1<x<2}$" 等价于 ${\displaystyle f(x)>-2}$ 在 ${\displaystyle 1<x<2}$ 时恒成立.

   • 当 ${\displaystyle b<-{\displaystyle \frac{2}{3}}}$, 注意到$$\begin{array}{r}{f}^{\prime }(x)=\frac{2}{x(2-x)}-2+3b(x-1{)}^2,f^{″}(x)=2(x-1)[\frac{2}{x^2(2-x{)}^2}+3b],\end{array}$$
     不难验证在 ${\displaystyle x\in (1,1+\epsilon )}$ 上 ${\displaystyle f^{″}(x)<0}$, 其中 ${\displaystyle \epsilon ={\displaystyle \sqrt{1-\sqrt{-\frac{2}{3b}}}\in (0,1)}}$, 进而在 ${\displaystyle (1,1+\epsilon )}$ 上 ${\displaystyle f^{\prime }(x)<f^{\prime }(1)=0}$, 进而 ${\displaystyle f(1+\epsilon )<f(1)=-2}$, 不合题意.
   • 当 ${\displaystyle b\ge -{\displaystyle \frac{2}{3}}}$, 由上一种情形知$$\begin{array}{r}{f}^{″}(x)\ge 2(x-1)(2+3b)\ge 0,\mathrm{\forall }1<x<2,\end{array}$$
     因此${\displaystyle f^{\prime }(x)\ge f^{\prime }(1)=0,f(x)\ge f(1)=-2}$，成立!

   综上，${\displaystyle b\ge {\displaystyle -\frac{2}{3}}}$.