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已知数列 ${\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}}$ 的各项均为正数，${\displaystyle a_1=2,b_{n+2}=b_{n+1}+2b_n(n\in {\mathbb{N}}^{\ast })}$, 且 ${\displaystyle b_{2n}\le a_n\le b_{2n+1}}$ 对任意 ${\displaystyle n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$ 恒成立. 则下列说法正确的是

• A. 若 ${\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}}$ 均为等比数列，则 ${\displaystyle a_n=2\times 4^{n-1}}$
• B. 若 ${\displaystyle b_2>2b_1}$, 则数列 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 的任意三项均不能构成等差数列
• C. 数列 ${\displaystyle \{b_n\}}$ 中最多能取出三项构成等差数列
• D.存在 ${\displaystyle b_1,b_2}$ 以及数列 ${\displaystyle \{a_n\}}$，使得数列 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 为无穷等差数列

• A 设 ${\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}}$ 的公比分别为 ${\displaystyle q_1,q_2}$, 首先由条件得 ${\displaystyle q_2^2=q_2+2\Rightarrow q_2=2}$, 因此不等式等价于$$\begin{array}{r}{b}_1\cdot 2^{2n-1}\le a_1{q}_1^{n-1}\le b_1\cdot 2^{2n}⟺0<\frac{a_1}{b_{1}q}\le {\left(\frac{4}{q}\right)}^n\le \frac{2a_1}{b_{1}q}.\end{array}$$
  因此只有 ${\displaystyle q=4}$, 故 A 正确.
• B 用归纳法证明: ${\displaystyle b_{2n}>2b_{2n-1},n\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$. 由选项条件，这对 ${\displaystyle n=1}$ 成立; 假设对 ${\displaystyle n=k}$ 成立，则 ${\displaystyle n=k+1}$ 时 $$\begin{array}{r}{b}_{2k+2}-2b_{2k+1}=-b_{2k+1}+2b_{2k}=b_{2k}-2b_{2k-1}>0.\end{array}$$
  因此结论得证. 利用结论，可得 $$\begin{array}{r}{a}_{n+2}\ge b_{2n+4}>2b_{2n+3}\ge 2a_{n+1}.\end{array}$$
  如果有 ${\displaystyle a_i,a_j,a_k(i<j<k)}$ 构成等差数列，则 ${\displaystyle 2a_j=a_k+a_i}$. 但是 ${\displaystyle a_k\ge 2a_{k-1}\ge 2a_j\Rightarrow a_k+a_i>2a_j}$, 因此确实找不到三项构成等差数列，B 正确.
• C 思路与 B 类似. 反设存在四项 ${\displaystyle b_i,b_j,b_k,b_l(i<j<k<l)}$ 构成等差数列，则 ${\displaystyle b_i+b_l=b_j+b_k}$. 但是 $$\begin{array}{r}{b}_l>b_{l-1}+b_{l-2}\ge b_k+b_j\Rightarrow b_l+b_i>b_k+b_j,\end{array}$$
  因此最多能取出三项构成等差数列. 另一方面，取 ${\displaystyle b_1=b_2=1}$, 则 ${\displaystyle b_3=3,b_4=5}$, 因此取 ${\displaystyle b_2,b_3,b_4}$ 构成三项的等差数列.
• D 如果没有理解错，选项指 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 为等差数列而非 ${\displaystyle \{a_n\}}$ 有无穷项构成等差数列.这样，公差$$\begin{array}{r}d=a_{n+1}-a_n\ge b_{2n+2}-b_{2n+1}=2b_{2n}\Rightarrow b_{2n}<+\mathrm{\infty },\end{array}$$
  但 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=+\mathrm{\infty }}$ (由于 ${\displaystyle b_n}$ 从第二项开始单调，由单调有界收敛定理，${\displaystyle \{b_n\}}$ 或者收敛或者趋于无穷，但如果收敛到 ${\displaystyle b}$, 则由递推式得 ${\displaystyle b=0}$ 舍去), 这与 ${\displaystyle b_{2n}<+\mathrm{\infty }}$ 矛盾! 故 D 不正确.

综上，答案是 ABC.