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设 ${\displaystyle f(x)}$ 是定义在 ${\displaystyle \mathbb{R}}$ 上的函数. 定义性质 ${\displaystyle P}$: 若对任意 ${\displaystyle x_1,x_2\in \mathbb{R}}$, 当 ${\displaystyle |x_1|<|x_2|}$ 时, ${\displaystyle f(x_1)<f(x_2)}$, 则称函数 ${\displaystyle f(x)}$ 具有"性质 ${\displaystyle P}$".

1. 判断函数 ${\displaystyle y={\mathrm{e}}^x}$ 是否具有"性质 ${\displaystyle P}$";
2. 若 ${\displaystyle y=\{\begin{array}{rl}& ax,x\le 0,\\ & x+b,x>0\end{array}}$ 具有"性质 ${\displaystyle P}$", 求所有 ${\displaystyle a,b}$ 的解;
3. 已知 ${\displaystyle f(x)}$ 的值域为 ${\displaystyle [0,1)}$, 且在 ${\displaystyle [0,+\mathrm{\infty })}$ 上是严格增函数, 证明: ${\displaystyle f(x)}$ 是偶函数的充要条件是: ${\displaystyle f(x)}$ 具有"性质 ${\displaystyle P}$".

1. 解 取 ${\displaystyle x_1=1}$, ${\displaystyle x_2=-2}$, 则 ${\displaystyle |x_1|<|x_2|}$, 但是 ${\displaystyle f(x_1)>1>f(x_2)}$, 因此 ${\displaystyle y={\mathrm{e}}^x}$ 没有"性质 ${\displaystyle P}$".
2. 解 取 ${\displaystyle x_1>0}$, ${\displaystyle x_2=-(x_1+\epsilon )}$, 这里 ${\displaystyle 0<\epsilon <\frac{x_1}{2}}$, 则 ${\displaystyle |x_2|>|x_1|}$, 从而 $$f(x_2)>f(x_1)\Rightarrow -a(x_1+\epsilon )>x_1+b.$$ 再取 ${\displaystyle x_3=-(x_1-\epsilon )}$, 从而 ${\displaystyle |x_1|>|x_3|}$, 从而 $$f(x_1)>f(x_3)\Rightarrow x_1+b>-a(x_1-\epsilon ).$$ 这样我们有 $$-a(x_1+\epsilon )>x_1+b>-a(x_1-\epsilon ),\mathrm{\forall }0<\epsilon <\frac{x_1}{2},\mathrm{\forall }{x}_1>0,$$ 只能有 ${\displaystyle -a{x}_1=x_1+b}$, 从而 ${\displaystyle a=-1}$, ${\displaystyle b=0}$.
3. 证明
   • 充分性 方法和 2 一样. 任意 ${\displaystyle x_1<0}$, 取 ${\displaystyle x_2=-x_1+\epsilon }$, ${\displaystyle x_3=-x_1-\epsilon }$, 这里 ${\displaystyle \epsilon \in (0,\frac{x_1}{2})}$ 保证 ${\displaystyle x_2,x_3}$ 的符号. 则根据"性质 ${\displaystyle P}$"直接给出 $$1>f(-x_1+\epsilon )>f(x_1)>f(-x_1-\epsilon )\ge 0.$$ (利用了值域条件). 从而 ${\displaystyle f(x_1)\in (0,1)}$, 因此 ${\displaystyle \mathrm{\exists }{x}_0>0}$: ${\displaystyle f(x_1)=f(x_0)}$. 也即 $$f(-x_1+\epsilon )>f(x_0)>f(x_1-\epsilon ).$$ 再根据严格单调性, ${\displaystyle -x_1+\epsilon >x_0>x_1-\epsilon }$, 所以只有 ${\displaystyle x_0=-x_1}$. 也即 ${\displaystyle f(x_1)=f(-x_1)}$.
   • 必要性 如果 ${\displaystyle f(x)}$ 是偶函数, 结合 ${\displaystyle [0,+\mathrm{\infty })}$ 上的严格单调性, ${\displaystyle \mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in \mathbb{R}}$, ${\displaystyle |x_1|<|x_2|}$, 有 $$f(x_2)=f(|x_2|)>f(|x_1|)=f(x_1),$$ 从而"性质 ${\displaystyle P}$"存在.