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若对于任意的 ${\displaystyle a\in \mathbb{R}}$, 关于 ${\displaystyle x}$ 的方程 ${\displaystyle |\sin x+\cos x|+|\sin x\cos x|=m}$ 在 ${\displaystyle [a,\pi +a]}$ 上始终有解, 则 ${\displaystyle m}$ 的取值范围为_____.

记 ${\displaystyle |\sin x+\cos x|=t\in [0,\sqrt{2}]}$, 则 ${\displaystyle |\sin x\cos x|=\frac{|t^2-1|}{2}}$. 原方程等价于 $$t+\frac{|t^2-1|}{2}=m.$$ 注意到 ${\displaystyle t=t(x)}$ 的周期为 ${\displaystyle \pi }$, 所以在任意 ${\displaystyle [a,\pi +a]}$ 上有解就意味着在整个实数域上有解. 而 ${\displaystyle t\in [0,\sqrt{2}]}$, 所以只需考虑 ${\displaystyle t+\frac{|t^2-1|}{2}}$ 在 ${\displaystyle [0,\sqrt{2}]}$ 上的值域, 为 ${\displaystyle [\frac{1}{2},\sqrt{2}+\frac{1}{2}]}$.