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已知双曲线 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1}}$, 过左焦点 ${\displaystyle F}$ 作 ${\displaystyle x^2+y^2=9}$ 的切线，切点为 ${\displaystyle M}$, 切线的延长线交双曲线右支于点 ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle PF}$ 中点为 ${\displaystyle T}$, 求 ${\displaystyle |OM|+|OT|}$.

取双曲线右焦点 ${\displaystyle F^{\prime }}$, 则 ${\displaystyle TO}$ 是 ${\displaystyle P{F}^{\prime }}$ 的中位线. 设 ${\displaystyle P{F}^{\prime }=x}$, 则 ${\displaystyle PF=P{F}^{\prime }+2a=x+6}$. 在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }MFO}$ 中，容易知道 ${\displaystyle {\displaystyle \cos \mathrm{\angle }MFO=\frac{4}{5}}}$. 在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }PF{F}^{\prime }}$ 中，由余弦定理$$\begin{array}{r}\cos \mathrm{\angle }MFO=\frac{P{F}^2+F{F}^{\prime 2}-P{F}^{\prime 2}}{2PF\cdot F{F}^{\prime }}=\frac{(x+6{)}^2+100-x^2}{20(x+6)}=\frac{4}{5}\Rightarrow x=10,\end{array}$$
故 ${\displaystyle OT=5}$; 显然 ${\displaystyle OM=3}$, 因此 ${\displaystyle OM+OT=8}$.