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设等差数列 ${\displaystyle a_1,\cdots ,a_n}$ 的公差 ${\displaystyle d>0}$, 首项 ${\displaystyle a_1=1}$. 已知从中能抽取 ${\displaystyle k(k\ge 3)}$ 个项并按原顺序排成公比为 ${\displaystyle q}$ 的等比数列 ${\displaystyle a_{m_1},a_{m_2},\cdots ,a_{m_k}}$, 其中 ${\displaystyle m_1=1}$, ${\displaystyle 2\le m_2<m_3<\cdots <m_k\le n}$.

1. 若从等差数列 ${\displaystyle 1,3,5,\cdots ,2n-1}$ 中能抽取 ${\displaystyle 3}$ 个项并按原顺序排成等比数列, 求 ${\displaystyle 2n-1}$ 的最小值;
2. 求证: ${\displaystyle n\ge 2^{k-1}}$;
3. 请举出一个满足 ${\displaystyle n=2^{k-1}}$ 的例子.

由题意 ${\displaystyle a_{m_1}=a_1=1}$, 所以 ${\displaystyle a_{m_i}=q^{i-1}}$.

1. 解 ${\displaystyle 2n-1\ge q^2=a_{m_2}^2\ge 9}$, 对应数列 ${\displaystyle 1,3,5,7,9}$.
2. 证明 由于 $$a_{m_2}=1+(m_2-1)d=q,a_{m_3}=1+(m_3-1)d=q^2,$$ 所以 $$q+1=\frac{q^2-1}{q-1}=\frac{(m_3-1)d}{(m_2-1)d}=\frac{m_3-1}{m_2-1},$$ 这说明 ${\displaystyle q}$ 一定是大于 ${\displaystyle 1}$ 的有理数, 设为 ${\displaystyle q=\frac{u}{v}}$, ${\displaystyle u,v\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, ${\displaystyle u,v}$ 互素, 且 ${\displaystyle v\ge 1}$, ${\displaystyle u\ge 2}$. 现在考察 ${\displaystyle a_{m_k}}$: $$m_k-1=\frac{q^{k-1}-1}{d}=(m_2-1)\frac{q^{k-1}-1}{q-1}=(m_2-1)\frac{u^{k-1}-v^{k-1}}{v^{k-2}(u-v)}.$$ 右端要是个正整数, 但 ${\displaystyle u,v}$ 互素推出 ${\displaystyle v^{k-2},u^{k-1}-v^{k-1}}$ 互素, 所以只能有 ${\displaystyle v^{k-2}|m_2-1}$, 这样 ${\displaystyle m_2-1\ge v^{k-2}}$. 从而 $$m_k-1\ge v^{k-2}\frac{u^{k-1}-v^{k-1}}{v^{k-2}(u-v)}=\frac{u^{k-1}-v^{k-1}}{u-v}=\sum _{i=1}^{k-2}{u}^i{v}^{k-2-i}\ge \sum _{i=1}^{k-2}{2}^i=2^{k-1}-1,$$ 这样 ${\displaystyle n\ge m_k\ge 2^{k-1}}$.
3. 解 取 ${\displaystyle d=1,q=2}$ 即可. 由上面的证明看出, 这其实是唯一的取等条件.