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已知函数 ${\displaystyle f(x)={\mathrm{e}}^x+(a-1)x-1}$, 其中 ${\displaystyle a\in \mathbb{R}}$.

1. 讨论函数 ${\displaystyle f(x)}$ 的单调性;
2. 当 ${\displaystyle a>1}$ 时，证明: ${\displaystyle f(x)>x\ln x-a\cos x}$.

1. 解 ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+a-1}$. 当 ${\displaystyle a\ge 1}$, ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle \mathbb{R}}$ 上单增; 当 ${\displaystyle a<1}$, ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },\ln (1-a))}$ 上单减，在 ${\displaystyle (\ln (1-a),+\mathrm{\infty })}$ 上单增.
2. 证明 即证 ${\displaystyle \mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^{\mathbb{+}},a>1}$: $${\mathrm{e}}^x+a(x+\cos x)-x-1-x\ln x>0.$$记左侧函数为 ${\displaystyle g(x)}$，则 $$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& ={\mathrm{e}}^x+a(1-\sin x)-\ln x-2\\ & \ge (x+1)+0-(x-1)-2=0,\end{array}$$故当 ${\displaystyle x\ge 1}$ 时 ${\displaystyle g(x)\ge g(1)=\mathrm{e}-2+a(1+\cos 1)>0}$. 而 ${\displaystyle 0<x<1}$ 时 ${\displaystyle g(x)>{\mathrm{e}}^x+0-x-1>0}$, 故综上结论得证.