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在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中, ${\displaystyle a,b,c}$ 是角 ${\displaystyle A,B,C}$ 的对应边, 满足 ${\displaystyle \frac{\cos A}{\sin B}+\frac{\cos B}{\sin A}=2}$, ${\displaystyle a+b+c=12}$, 下列说法正确的是

• A. ${\displaystyle 2\sin C=\frac{b^2+c^2-a^2}{2b^2}+\frac{a^2+b^2-c^2}{2a^2}}$
• B. ${\displaystyle \tan A\cdot \tan B}$ 的最小值为 ${\displaystyle 1}$
• C. 若 ${\displaystyle b^2=a(a+c)}$, 则 ${\displaystyle \sin A\sin B\sin C=\frac{\sqrt{3}}{4}}$
• D. ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的面积最大值为 ${\displaystyle 36(3-2\sqrt{2})}$

• A 在第一个条件式左右同成 ${\displaystyle \sin C}$, 有 $$\begin{array}{rl}2\sin C& =\cos A\frac{\sin C}{\sin B}+\cos B\frac{\sin C}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\frac{c}{b}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\frac{c}{a}\\ & =\frac{b^2+c^2-a^2}{2b^2}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2a^2},\end{array}$$ 和选项并不一致. 事实上, 注意到 ${\displaystyle A,B}$ 应该保持对称, 就知道 A 错误.
• B 直接由第一个条件式 $$2=\frac{\cos A}{\sin B}+\frac{\cos B}{\sin A}\ge 2\sqrt{\frac{1}{\tan A\tan B}}\Rightarrow \tan A\tan B\ge 1.$$ 可以给出取等条件 ${\displaystyle A=B=\frac{\pi }{4}}$, 所以 B 正确.
• C 我们现在要进一步挖掘第一个条件式. 把它变为$$\begin{array}{rl}& \sin A\cos A+\sin B\cos B=2\sin A\sin B>0.\end{array}$$ 左边变形为 ${\displaystyle \frac{1}{2}(\sin 2A+\sin 2B)=\sin C\cos (A-B)}$, 所以 ${\displaystyle \cos (A-B)>0}$. 再把右边变形为 ${\displaystyle \cos (A-B)-\cos (A+B)=\cos (A-B)+\cos C}$, 从而 $$(\sin C-1)\cos (A-B)=\cos C\le 0,$$ 所以 ${\displaystyle C\ge \frac{\pi }{2}}$. 而 ${\displaystyle C>\frac{\pi }{2}}$ 时根据 B: $$\tan C=-\tan (A+B)=-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}>0,$$ 与 ${\displaystyle \tan C<0}$ 矛盾, 所以 ${\displaystyle C=\frac{\pi }{2}}$.
  现在回到选项, 根据勾股定理 ${\displaystyle b^2=c^2-a^2=a(a+c)}$, 所以 ${\displaystyle c-a=a}$, 所以 ${\displaystyle \sin A=\frac{a}{c}\sin C=\frac{1}{2}}$, 所以 ${\displaystyle \sin B=\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}}$, 所以 ${\displaystyle \sin A\sin B\sin C=\frac{\sqrt{3}}{4}}$, C 正确.
• D 因为 ${\displaystyle C=\frac{\pi }{2}}$, 所以可以设 ${\displaystyle a=\cos \theta }$, ${\displaystyle b=\sin \theta }$, 这样第二个条件式等价于 ${\displaystyle c(1+\sin \theta +\cos \theta )=12}$. 设 ${\displaystyle t=\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{\pi }{4})\in (1,\sqrt{2}]}$, 则 ${\displaystyle \sin \theta \cos \theta =\frac{t^2-1}{2}}$. 所以 $$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}{c}^2\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}{\left(\frac{12}{1+t}\right)}^2\frac{t^2-1}{2}=\frac{36(t-1)}{t+1}\le 36(3-2\sqrt{2}),$$ 所以 D 正确.

综上, 答案是 BCD.