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在锐角三角形 ${\displaystyle ABC}$ 中, 内角 ${\displaystyle A,B,C}$ 的对边分别为 ${\displaystyle a,b,c}$, 其中 ${\displaystyle BD}$ 是角 ${\displaystyle B}$ 的平分线, 且点 ${\displaystyle D}$ 在边 ${\displaystyle AC}$ 上, 且满足 $$BD\cdot (\sin A+\sin C)=\sqrt{3}a\cdot \sin C.$$

1. 求角 ${\displaystyle B}$ 的值;
2. 若 ${\displaystyle c=2}$, 求三角形 ${\displaystyle ABC}$ 的周长的取值范围;
3. 比较 ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ 与 ${\displaystyle \ln (1+\sqrt{2})}$ 的大小.

1. 对条件式用正弦定理: $$BD\cdot (a+c)=\sqrt{3}ac.$$ 因为 ${\displaystyle BD}$ 是角 ${\displaystyle B}$ 的平分线, 所以根据面积关系 $$\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}BD(a+c)\sin \frac{B}{2},$$ 代入上式得 ${\displaystyle \sin B=\sqrt{3}\sin \frac{B}{2}}$, 也即 ${\displaystyle \sin \frac{B}{2}(\cos \frac{B}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2})=0}$. 因为 ${\displaystyle B\in (0,\frac{\pi }{2})}$, 所以只有 ${\displaystyle B=\frac{\pi }{3}}$.
2. 本题走角比较方便. 因为 ${\displaystyle C\in (0,\frac{\pi }{2})}$, ${\displaystyle A=\frac{2\pi }{3}-C\in (0,\frac{\pi }{2})}$, 所以 ${\displaystyle C\in (\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2})}$. 根据正弦定理 $$\frac{2}{\sin C}=\frac{b}{\sin \frac{\pi }{3}}=\frac{a}{\sin (C+\frac{\pi }{3})},$$ 从而周长为 $$l=a+b+c=3+\sqrt{3}\frac{\cos C+1}{\sin C}.$$ 而 ${\displaystyle {\left(\frac{\cos C+1}{\sin C}\right)}^{\prime }=-\frac{1+\cos C}{{\sin }^{2}C}<0}$, 所以只需在 ${\displaystyle C}$ 的两个边界取值, ${\displaystyle l\in (3+\sqrt{3},2\sqrt{3}+6)}$.
3. 记 ${\displaystyle f(x)=x+\ln \frac{1+\cos x}{\sin x}}$, ${\displaystyle x\in (\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2})}$, 则 $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{\sin x}<0,$$ 所以 $$f\left(\frac{\pi }{4}\right)>f\left(\frac{\pi }{2}\right)⟺\frac{\pi }{4}+\ln (1+\sqrt{2})>\frac{\pi }{2}⟺\ln (1+\sqrt{2})>\frac{\pi }{4}.$$

解法一 注意到 $$\ln (1+\sqrt{2})-\frac{\pi }{4}={\int }_0^1(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}-\frac{1}{1+x^2})\mathrm{d}x>0.$$
解法二 利用常用不等式 ${\displaystyle \ln x>\frac{2(x-1)}{x+1},x>1}$ 放缩: $$\begin{array}{rl}& \ln (1+\sqrt{2})>\frac{2\cdot \sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=2(\sqrt{2}-1)>2(1.4-1)=\frac{4}{5}>\frac{\pi }{4}.\end{array}$$