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方程 ${\displaystyle x^{\ln 3}+x^{\ln 4}=x^{\ln 5}}$ 的正实数解为_____.

进行换元 ${\displaystyle x={\mathrm{e}}^t}$, 则方程等价于$$\begin{array}{r}{3}^t+4^t=5^t\Rightarrow 1={\left(\frac{3}{5}\right)}^t+{\left(\frac{4}{5}\right)}^t.\end{array}$$
右侧函数关于${\displaystyle t}$单减(由求导易得), 且${\displaystyle t=2}$是一个解，因此方程唯一的解是${\displaystyle x={\mathrm{e}}^2}$.