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设 ${\displaystyle m}$ 为正整数，数列 ${\displaystyle a_1,a_2,\cdots ,a_{4m+2}}$ 是公差不为 ${\displaystyle 0}$ 的等差数列，若从中删去两项 ${\displaystyle a_i}$ 和 ${\displaystyle a_j(i<j)}$ 后剩余的 ${\displaystyle 4m}$ 项可被平均分为 ${\displaystyle m}$ 组，且每组的 ${\displaystyle 4}$ 个数都能构成等差数列，则称数列 ${\displaystyle a_1,a_2,\cdots ,a_{4m+2}}$ 是 ${\displaystyle (i,j)-}$ 可分数列.

1. 写出所有的 ${\displaystyle (i,j)(1\le i<j\le 6)}$，使数列 ${\displaystyle a_1,a_2,\cdots ,a_6}$ 是 ${\displaystyle (i,j)-}$ 可分数列;
2. 当 ${\displaystyle m\ge 3}$ 时，证明: 数列 ${\displaystyle a_1,a_2,\cdots ,a_{4m+2}}$ 是 ${\displaystyle (2,13)-}$ 可分数列;
3. 从 ${\displaystyle 1,2,\cdots ,4m+2}$ 中一次任取两个数 ${\displaystyle i}$ 和 ${\displaystyle j}$, 记数列 ${\displaystyle a_1,a_2,\cdots ,a_{4m+2}}$ 是 ${\displaystyle (i,j)-}$ 可分数列的概率为 ${\displaystyle P_m}$, 证明: ${\displaystyle {\displaystyle P_m>\frac{1}{8}}}$.

1. 解 满足题意的 ${\displaystyle (i,j)}$ 有 ${\displaystyle (1,2),(5,6),(1,6)}$.

2. 证明 当 ${\displaystyle m=3}$, 可以给出划分 ${\displaystyle (a_1,a_4,a_7,a_{10}),(a_3,a_6,a_9,a_{12}),(a_5,a_8,a_{11},a_{14})}$; 当 ${\displaystyle m\ge 4}$, 则在 ${\displaystyle m=3}$ 的基础上加上 ${\displaystyle (a_{15},a_{16},a_{17},a_{18}),\cdots ,(a_{4m-1},a_{4m},a_{4m+1},a_{4m+2})}$. 这样，数列 ${\displaystyle a_1,a_2,\cdots ,a_{4m+2}}$ 是 ${\displaystyle (2,13)-}$ 可分数列.

3. 证明 题目只要证明一个不等式，因此我们找到足够多成立的情形即可. 首先，${\displaystyle (i,j)}$ 的选取共有 ${\displaystyle C_{4m+2}^2}$ 种.

   • 受 1 启发，可以选取 ${\displaystyle (i,j)}$ 使得剩下的指标集 ${\displaystyle \{1,2,\cdots ,i-1\}}$, ${\displaystyle \{i+1,\cdots ,j-1\}}$, ${\displaystyle \{j+1,\cdots ,4m+2\}}$ 的各自的元素个数都是 ${\displaystyle 4}$ 的倍数，可以从小到大每连续 ${\displaystyle 4}$ 项组成一个等差数列. 因此$$\begin{array}{r}4|i-1,4|4m+2-j\Rightarrow i\equiv 1(\mathrm{mod}4),j\equiv 2(\mathrm{mod}4),j>i.\end{array}$$
     设 ${\displaystyle i=4s+1,j=4t+2,s,t\in \mathbb{N}}$, 则只需要 ${\displaystyle 0\le s\le t\le m}$, 有 ${\displaystyle C_{m+2}^2}$ 种取法.
   • 受 2 启发，当 ${\displaystyle m\ge 2}$ 时，设 ${\displaystyle i=4s+2,j=4t+9,0\le s\le t\le m-2}$, 则可以把指标集划分为 ${\displaystyle A=\{1,\cdots ,i-2\}}$, ${\displaystyle B=\{i-1,i+1,\cdots ,j-1,j+1\}}$, ${\displaystyle C=\{j+2,\cdots ,4m+2\}}$, 其中 ${\displaystyle A,C}$ 的元素个数是 ${\displaystyle 4}$ 的倍数，每 ${\displaystyle 4}$ 项划分即可; ${\displaystyle B}$ 的元素个数为 ${\displaystyle j-i=4(t-s)+8}$, 从第一项开始对指标以 ${\displaystyle t-s+2}$ 的公差取第一组，移去这些指标后从剩下的指标中的第一项重复这一过程，得到 ${\displaystyle t-s+2}$ 组（${\displaystyle t=s+1}$ 的情形由 2 给出）. 因此，这样的 ${\displaystyle (s,t)}$ 有 ${\displaystyle C_m^2}$ 种.

   因此，${\displaystyle m=1}$ 时 $$\begin{array}{r}{P}_1\ge \frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}>\frac{1}{8},\end{array}$$
   ${\displaystyle m\ge 2}$时$$\begin{array}{r}{P}_m\ge \frac{C_{m+2}^2+C_m^2}{C_{4m+2}^2}=\frac{m^2+m+1}{8m^2+6m+1}>\frac{1}{8}.\end{array}$$
   因此结论得证.