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已知椭圆 ${\displaystyle {\displaystyle C:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1}}$, ${\displaystyle O}$ 为坐标原点，若椭圆 ${\displaystyle C^{\prime }}$ 与椭圆 ${\displaystyle C}$ 的离心率相同，焦点都在同一坐标轴上，椭圆 ${\displaystyle C^{\prime }}$ 的长轴长与椭圆 ${\displaystyle C}$ 的长轴长之比为 ${\displaystyle 1:\sqrt{2}}$.

1. 求椭圆 ${\displaystyle C^{\prime }}$ 的方程;
2. 已知点 ${\displaystyle P}$ 在椭圆 ${\displaystyle C}$ 上，点 ${\displaystyle A,B}$ 在椭圆 ${\displaystyle C^{\prime }}$ 上，若 ${\displaystyle \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}$, 则四边形 ${\displaystyle OAPB}$ 的面积是否为定值? 若是，求出定值；若不是，请说明理由.

1. 设 ${\displaystyle C^{\prime }:{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,a>b>0,c=\sqrt{a^2-b^2}}}$，则 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{c}{a}=\sqrt{\frac{6}{8}},a=2}}$，解得 ${\displaystyle C^{\prime }:{\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1}}$.
2. 设 ${\displaystyle A(2\cos \alpha ,\sin \alpha ),B(2\cos \beta ,\sin \beta )}$，则 ${\displaystyle P(2(\cos \alpha +\cos \beta ),\sin \alpha +\sin \beta )}$.由于 ${\displaystyle P}$ 在 ${\displaystyle C}$ 上，代入得 $$\begin{array}{r}\frac{(\cos \alpha +\cos \beta {)}^2}{2}+\frac{(\sin \alpha +\sin \beta {)}^2}{2}=1\Rightarrow \cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta =\cos (\alpha -\beta )=0,\end{array}$$
   则$$\begin{array}{r}{S}_{\mathrm{\Delta }AOB}=\frac{1}{2}|x_A{y}_B-x_B{y}_A|=|\cos \alpha \sin \beta -\sin \alpha \cos \beta |=|\sin (\beta -\alpha )|=1,\end{array}$$
   进而${\displaystyle S_{OAPB}=2S_{\mathrm{\Delta }AOB}=2}$为定值.