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某已知函数 ${\displaystyle f(x)={\mathrm{e}}^x-a{x}^2}$ 有三个零点 ${\displaystyle x_1,x_2,x_3}$ (${\displaystyle x_1<x_2<x_3}$), 则

• A. 若 ${\displaystyle x_1,x_2,x_3}$ 成等差数列, 则 ${\displaystyle x_1^2,x_2^2,x_3^2}$ 成等比数列
• B. 若 ${\displaystyle x_1^2,x_2^2,x_3^2}$ 成等比数列, 则 ${\displaystyle x_1,x_2,x_3}$ 成等差数列
• C. 若 ${\displaystyle x_1,x_2,x_3}$ 成等差数列, 则数列 ${\displaystyle x_1,x_2,x_3}$ 的公差为 ${\displaystyle 2\ln (\sqrt{2}-1)}$
• D. 若 ${\displaystyle x_1^2,x_2^2,x_3^2}$ 成等比数列, 则数列 ${\displaystyle x_1^2,x_2^2,x_3^2}$ 的公比为 ${\displaystyle 3+2\sqrt{2}}$

首先 ${\displaystyle 0}$ 肯定不是零点, 这样 ${\displaystyle a=\frac{{\mathrm{e}}^{x_i}}{x_i^2}}$, ${\displaystyle i=1,2,3}$. 绘制 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^x}{x^2}}$ 的图像, 容易得到 ${\displaystyle x_1<0<x_2<2<x_3}$.

• A 不妨设公差为 ${\displaystyle d>0}$. 首先根据 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{x_1}}{x_1^2}=\frac{{\mathrm{e}}^{x_2}}{x_2^2}}$ 推出 ${\displaystyle \frac{x_2^2}{x_1^2}={\mathrm{e}}^{x_2-x_1}={\mathrm{e}}^d}$, 同理 ${\displaystyle \frac{x_3^2}{x_2^2}={\mathrm{e}}^d}$, 这样 ${\displaystyle x_1^2,x_2^2,x_3^2}$ 就成了公比为 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^d}$ 的等比数列. 正确.
• B 不妨设公比为 ${\displaystyle q>0}$. 同样根据 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{x_1}}{x_1^2}=\frac{{\mathrm{e}}^{x_2}}{x_2^2}}$ 推出 ${\displaystyle x_2-x_1=\ln \frac{x_2^2}{x_1^2}=\ln q}$, 同理 ${\displaystyle x_3-x_2=\ln q}$. 所以 ${\displaystyle x_1,x_2,x_3}$ 成了公差为 ${\displaystyle \ln q}$ 的等差数列. 正确.
• C 注意到 ${\displaystyle 2\ln (\sqrt{2}-1)<0}$, 所以显然错误. 为了计算正确的结果, 我们利用 A 的结论 $${\mathrm{e}}^d=\frac{x_2^2}{x_1^2}=\frac{x_3^2}{x_2^2}\Rightarrow x_2=-x_1{\mathrm{e}}^{\frac{d}{2}},x_3=x_2{\mathrm{e}}^{\frac{d}{2}}=-x_1{\mathrm{e}}^d,$$ 于是 $$2=\frac{x_3-x_1}{x_2-x_1}=\frac{1+{\mathrm{e}}^d}{{\mathrm{e}}^{\frac{d}{2}}+1}\Rightarrow {\mathrm{e}}^{\frac{d}{2}}=1\pm \sqrt{2}.$$ 又因为 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\frac{d}{2}}>0}$, 所以只有 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\frac{d}{2}}=1+\sqrt{2}}$, 所以 ${\displaystyle d=2\ln (1+\sqrt{2})}$.
• D 从 A, B 看出 ${\displaystyle q={\mathrm{e}}^d}$, 结合 C 中得到的 ${\displaystyle {\mathrm{e}}^{\frac{d}{2}}=1+\sqrt{2}}$, 于是 ${\displaystyle q=(1+\sqrt{2}{)}^2=3+2\sqrt{2}}$. 正确.

所以答案是 ABD.