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求证方程 $e^{x} = x^{2} + 5 x + 1$ 的实根不超过 $3$ 个.

证明

记 $f (x) = e^{x} - x^{2} - 5 x - 1$ . 要证 $f (x)$ 不超过 $3$ 个零点, 只要证 $f^{'} (x) = e^{x} - 2 x - 5$ 不超过 $2$ 个零点, 只要证 $f^{″} (x) = e^{x} - 2$ 不超过 $1$ 个零点, 它确实只有 $\ln 2$ 一个零点.

注意这个方法不能用于证明 $3$ 个零点的存在性. 如果本题要我们证明存在性, 一方面可以考虑用零点存在性定理: 注意到 $\begin{aligned} f (- 5) & = e^{- 5} - 1 < 0, \\ f (- 1) & = e^{- 1} + 3 > 0, \\ f (0) & = 0, \\ f (1) & = e - 7 < 0, \\ f (4) & = e^{4} - 47 > 7^{2} - 47 > 0, \end{aligned}$ 从而确实存在 $3$ 个零点, 一个为 $0$ , 另外两个分别在 $(- 5, - 1)$ 和 $(1, 4)$ 上.

另一种值得学习的做法是, 把方程变换成 $\frac{x^{2} + 5 x + 1}{e^{x}} = 1$ . 通过凑出 $e^{x}$ 与有理函数相乘/相除的形式, 简化导数. 请读者自行计算.