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如图，一只蚂蚁从单位正方体 ${\displaystyle ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1}$ 的顶点 ${\displaystyle A}$ 出发, 每一步 (均为等可能性的) 经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过 ${\displaystyle n}$ 步回到点 ${\displaystyle A}$ 的概率 ${\displaystyle p_n}$.

1. 分别写出 ${\displaystyle p_1,p_2}$ 的值;
2. 设顶点 ${\displaystyle A}$ 出发经过 ${\displaystyle n}$ 步到达点 ${\displaystyle C}$ 的概率为 ${\displaystyle q_n}$, 求 ${\displaystyle p_n+3q_n}$ 的值.
3. 求 ${\displaystyle p_n}$.
   

1. ${\displaystyle A}$ 出发一步不可能回到 ${\displaystyle A}$; 出发两步再回到 ${\displaystyle A}$ 必须在第二步沿原路折返，这样 ${\displaystyle {\displaystyle p_1=0,p_2=\frac{1}{3}}}$.
2. 根据对称性，从 ${\displaystyle A}$ 出发经过 ${\displaystyle n}$ 步到达 ${\displaystyle C,B_1,D_1}$ 是等可能的. 每经过一步，蚂蚁所在的点都会在两个集合 ${\displaystyle \{A,C,B_1,D_1\},\{A_1,C_1,B,D\}}$ 间切换，因此$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& p_n+3q_n=0,n\text{为奇数},\\ & p_n+3q_n=1,n\text{为偶数}.\end{array}\Rightarrow p_n+3q_n=\frac{1+(-1{)}^n}{2}.\end{array}$$
3. 要使 ${\displaystyle A}$ 出发经过 ${\displaystyle n}$ 步到达 ${\displaystyle A}$, 或者要求出发 ${\displaystyle n-2}$ 步后在 ${\displaystyle A}$，并再走两步回到 ${\displaystyle A}$，或者要求 ${\displaystyle n-2}$ 步后在 ${\displaystyle C,B_1,D_1}$, 并再走两步回到 ${\displaystyle A}$, 这样$$\begin{array}{r}{p}_n=\frac{1}{3}{p}_{n-2}+3q_{n-2}\cdot \frac{2}{3^2},\end{array}$$而由2得$$\begin{array}{r}{p}_{n-2}+3q_{n-2}=\frac{1+(-1{)}^n}{2},\end{array}$$ 消去 ${\displaystyle q_{n-2}}$ 得 $$\begin{array}{rl}& p_n=\frac{1}{9}{p}_{n-2}+\frac{1+(-1{)}^n}{9}\\ \Rightarrow & p_n-8[1+(-1{)}^n]=\frac{1}{3^2}(p_{n-2}-8[1+(-1{)}^{n-2}]),\end{array}$$
   分别对奇偶数递推得