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设 ${\displaystyle x,y}$ 是正实数，记 ${\displaystyle S}$ 为 ${\displaystyle x,y+{\displaystyle \frac{1}{x},\frac{1}{y}}}$ 中的最小值，求 ${\displaystyle S}$ 的最大值.

本题可以类比 890，对几个不等式联立消去变量即可. 对于本题，自然可以注意到$$\begin{array}{r}S\le x\Rightarrow \frac{1}{x}\le \frac{1}{S}\text{和}S\le \frac{1}{y}\Rightarrow y\le \frac{1}{S},\end{array}$$
以及$$\begin{array}{r}S\le y+\frac{1}{x}\le \frac{1}{S}+\frac{1}{S}\Rightarrow S\le \sqrt{2}.\end{array}$$
取等条件为 ${\displaystyle {\displaystyle (x,y)=(\sqrt{2},\frac{\sqrt{2}}{2})}}$.