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记双曲线 ${\displaystyle E:x^2-\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)}$ 的左右焦点分别为 ${\displaystyle F_1,F_2}$, 过 ${\displaystyle F_1}$ 的直线 ${\displaystyle l}$ 交 ${\displaystyle E}$ 的右支于点 ${\displaystyle P}$, 交左支于点 ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle |PQ|=|P{F}_2|}$, 则 ${\displaystyle |P{F}_2{|}^2+|F_1{F}_2{|}^2}$ 取最小值时, ${\displaystyle b^2=}$ _____.

连结 ${\displaystyle Q{F}_2}$. 记 ${\displaystyle PQ=P{F}_2=t}$. 则根据双曲线的第一定义, ${\displaystyle F_{1}Q=2}$, ${\displaystyle Q{F}_2=4}$. 这样分别在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }Q{F}_1{F}_2}$ 和 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }P{F}_1{F}_2}$ 中对 ${\displaystyle \mathrm{\angle }P{F}_1{F}_2}$ 使用余弦定理: $$\frac{4+4c^2-16}{8c}=\frac{(2+t{)}^2+4c^2-t^2}{4c(2+t)}\Rightarrow t=\frac{8}{c^2-5}.$$ (这也意味着 ${\displaystyle c^2>5}$) 这样 $$P{F}_2^2+F_1{F}_2^2=t^2+4c^2=\frac{64}{(c^2-5{)}^2}+4(c^2-5)+20.$$ 记 ${\displaystyle f(x)=\frac{64}{x^2}+4x+20}$, 则 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=-\frac{128}{x^3}+4}$, 所以 ${\displaystyle f(x)}$ 的极小值点为 ${\displaystyle 2\sqrt[3]{4}}$, 这样 ${\displaystyle b^2=c^2-1=(c^2-5)+4=2\sqrt[3]{4}+4}$.