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定义在 $[0, 1]$ 上的单调函数 $f (x)$ 满足: $\forall a, b \in [0, 1]$ , $f (a) + f (b) = f (a) \cdot f (b) + f (a + b - a b)$ , 且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ , 则

A. $f (0) = 0$
B. 记 $g (x) = 1 - f (1 - x)$ , 则 $g (x)$ 为幂函数
C. $\sum_{n = 1}^{2026} f (\frac{n}{n + 1}) < 2025$
D. $\sum_{n = 1}^{2025} f (\frac{1}{n + 1}) < 2 \ln 2026$

解

A 令 $a = 0$ , $b = \frac{1}{2}$ , 则整理得 $f (0) [1 - f (\frac{1}{2})] = \frac{1}{4} f (0) = 0,$ 所以正确.
B 因为 $g (x) = 1 - f (1 - x)$ , 所以 $f (x) = 1 - g (1 - x)$ , 代入条件式整理得 $g (1 - a) g (1 - b) = g (1 - a - b + a b) = g ((1 - a) (1 - b)),$ 也即 $\forall x, y \in [0, 1]$ , $g (x) g (y) = g (x y)$ . 这确实符合幂函数. 进一步根据 $f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ , 有 $g (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ , 也即 $f (1 - x) = 1 - x^{2}$ . 我们在后面补充证明这是唯一的解.
C 因为 $\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{2026} f (\frac{n}{n + 1}) = \sum_{n = 1}^{2026} f (1 - \frac{1}{n + 1}) = \sum_{n = 1}^{2026} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) \\ > & 2026 - \sum_{n = 1}^{2026} \frac{1}{n (n + 1)} = 2026 - (1 - \frac{1}{2027}) > 2025, \end{aligned}$ 所以错误.
D 首先 $\ln \frac{n + 1}{n} > 1 - \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$ . 这样 $\begin{aligned} \sum_{n = 1}^{2025} f (\frac{1}{n + 1}) = \sum_{n = 1}^{2025} (1 - \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{2025} \frac{2}{n + 1} \\ < & 2 \sum_{n = 1}^{2025} \ln \frac{n + 1}{n} = 2 \ln \prod_{n = 1}^{2025} \frac{n + 1}{n} = 2 \ln 2026, \end{aligned}$ 所以正确.

综上, 答案是 ABD.

下面我们来证明 B 中的 $g (x)$ 只能是幂函数. 回顾 $g (x) g (y) = g (x y)$ .

确定 $g (0), g (1)$ 根据 A, $g (1) = 1 - f (0) = 1$ ; 代入 $x = y = 0$ , 有 $g (0) = g^{2} (0)$ . 但是如果 $g (0) = 1$ , 因为 $g (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ , $g (1) = 1$ , 则 $g (x)$ 不再单调, 因此只有 $g (0) = 0$ , 这样 $g (x)$ 是一个单增函数.

确定一个稠密集合上的取值 令 $y = x$ , 得到 $g (x^{2}) = g^{2} (x)$ . 进而 $g (x^{n}) = g^{n} (x)$ , 从而 $g (x) = g ((x^{\frac{1}{n}})^{n}) = g^{n} (x^{\frac{1}{n}}) \Rightarrow g (x^{\frac{1}{n}}) = g^{\frac{1}{n}} (x) .$ 从而对任意有理数 $m = \frac{p}{q} \in [0, 1]$ , $g (x^{m}) = g (x^{\frac{p}{q}}) = g^{p} (x^{\frac{1}{q}}) = g^{\frac{p}{q}} (x) = g^{m} (x) .$ 再结合 $g (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ , 对任意形如 ${(\frac{1}{2})}^{m}$ 的数, $g ({(\frac{1}{2})}^{m}) = {(\frac{1}{4})}^{m}$ , 它满足 $g (x) = x^{2}$ .

推广到整个定义域 容易证明 ${{(\frac{1}{2})}^{m} | m \in Q^{+}}$ 在 $[0, 1]$ 上是稠密的: $\forall x \in (0, 1)$ , 总能找到充分接近的 $m_{1}, m_{2}$ , 使得 $m_{1} < - \log_{2} x < m_{2} \Rightarrow {(\frac{1}{2})}^{m_{2}} < x < {(\frac{1}{2})}^{m_{1}} \Rightarrow {(\frac{1}{4})}^{m_{2}} < g (x) < {(\frac{1}{4})}^{m_{1}} .$ 由于 $m_{1}, m_{2}$ 充分接近, 所以只有 $g (x) = x^{2}$ .