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设向量 ${\displaystyle \mathbf{M}=(2\sin (\omega x),\cos (\omega x))}$, ${\displaystyle \mathbf{N}=(\cos (\omega x),-2\sqrt{3}\cos (\omega x))}$, 其中 ${\displaystyle \omega >0}$, 函数 ${\displaystyle F(x)=2\mathbf{M}\cdot \mathbf{N}}$.

1. 若 ${\displaystyle \omega =1}$, 求函数 ${\displaystyle F(x)}$ 图像的对称中心.
2. 记 ${\displaystyle F(x)}$ 的最小正周期为 ${\displaystyle T}$. 将 ${\displaystyle F(x)}$ 的图像向左平移 ${\displaystyle \frac{T}{2}}$ 个单位长度, 得到函数 ${\displaystyle G(x)}$ 的图像. 若 ${\displaystyle G(x)}$ 在区间 ${\displaystyle (\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4})}$ 内单调递减, 求 ${\displaystyle \omega }$ 的取值范围.

首先 $$\begin{array}{rl}F(x)& =2(2\sin (\omega x)\cos (\omega x)-2\sqrt{3}{\cos }^2(\omega x))\\ & =2(\sin (2\omega x)-\sqrt{3}\cos (2\omega x))-2\sqrt{3}\\ & =4\sin (2\omega x-\frac{\pi }{3})-2\sqrt{3}.\end{array}$$

1. 当 ${\displaystyle \omega =1}$, ${\displaystyle F(x)=4\sin (2x-\frac{\pi }{3})-2\sqrt{3}}$. 令 ${\displaystyle 2x-\frac{\pi }{3}=k\pi }$, ${\displaystyle k\in \mathbb{Z}}$, 解得对称中心是 ${\displaystyle (\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{6},-2\sqrt{3})}$.
2. 由题意 ${\displaystyle T=\frac{\pi }{\omega }}$, 且 $$G(x)=F(x+\frac{T}{2})=4\sin (2\omega x+\frac{2\pi }{3})-2\sqrt{3}.$$ 当 ${\displaystyle x\in (\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4})}$, ${\displaystyle 2\omega x+\frac{2\pi }{3}\in (\frac{2\pi }{3}+\frac{\pi \omega }{2},\frac{2\pi }{3}+\frac{3\pi \omega }{2})=I}$. 这个区间包含于 ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ 的单减区间里, 所以区间长度 $$\pi \omega \le \pi \Rightarrow \omega \le 1.$$ 考虑 ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ 在 ${\displaystyle (0,+\mathrm{\infty })}$ 上的单减区间 ${\displaystyle (\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi )}$, ${\displaystyle k\in \mathbb{N}}$, 只有 ${\displaystyle (\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2})}$ 可以包含 ${\displaystyle I}$, 所以只需 $$\frac{2\pi }{3}+\frac{3\pi \omega }{2}\le \frac{3\pi }{2}\Rightarrow \omega \le \frac{5}{9}.$$ 综上, 答案是 ${\displaystyle \omega \in (0,\frac{5}{9}]}$.