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求 ${\displaystyle {\displaystyle \frac{4\sin x+\cos x}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}}}}$ 的最大值.

注意到 ${\displaystyle (\sin x,\cos x)=(1,0)}$ 时原式为 ${\displaystyle 4}$. 下面我们证明 $${\displaystyle \frac{4\sin x+\cos x}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}}-4=\frac{\cos x-4\sqrt{1-\sin x}}{\sin x+\sqrt{1-\sin x}}\le 0.}$$ 这是因为$$\begin{array}{rl}& \cos x-4\sqrt{1-\sin x}\le |\cos x|-4\sqrt{1-\sin x}\\ =& \sqrt{1-{\sin }^{2}x}-4\sqrt{1-\sin x}=\sqrt{1-\sin x}(\sqrt{1+\sin x}-2)\le 0,\end{array}$$
以及$$\begin{array}{r}\sin x+\sqrt{1-\sin x}=\frac{5}{4}-{(\sqrt{1-\sin x}-\frac{1}{2})}^2\ge \frac{5}{4}-{(\sqrt{2}-\frac{1}{2})}^2>\frac{5}{4}-1^2>0.\end{array}$$
因此原式的最大值为${\displaystyle 4}$.