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已知函数 ${\displaystyle h(x)={\displaystyle max\{\frac{\ln x-1}{x},-x^3+ax-\frac{1}{4}\}(x>0)}}$, 其中 ${\displaystyle max\{p,q\}}$ 表示 ${\displaystyle p,q}$ 中的最大值. 若函数 ${\displaystyle h(x)}$ 有 ${\displaystyle 3}$ 个不同的零点, 则实数 ${\displaystyle a}$ 的取值范围为_____.

${\displaystyle {\displaystyle f(x)=\frac{\ln x-1}{x}}}$ 只贡献了零点 ${\displaystyle x=\mathrm{e}}$，那么 ${\displaystyle g(x)={\displaystyle -x^3+ax-\frac{1}{4}}}$ 不能单调，因此 ${\displaystyle a>0}$. 如图，这等价于$$\begin{array}{r}\{\begin{array}{rl}& g\left(\sqrt{\frac{a}{3}}\right)>0,\\ & g(\mathrm{e})<0\end{array}\Rightarrow \frac{3}{4}<a<{\mathrm{e}}^2+\frac{1}{4\mathrm{e}},\end{array}$$
也即 ${\displaystyle {\displaystyle a\in (\frac{3}{4},{\mathrm{e}}^2+\frac{1}{4\mathrm{e}})}}$.