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记锐角 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的内角 ${\displaystyle A,B,C}$ 的对边分别为 ${\displaystyle a,b,c}$. 若 ${\displaystyle 2\cos C={\displaystyle \frac{3b}{a}-\frac{a}{b}}}$, 则 ${\displaystyle B}$ 的取值范围是_____.

利用余弦定理进行变形:$$\begin{array}{r}\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}=\frac{3b^2-a^2}{ab}⟺c^2=2(a^2-b^2),\end{array}$$
利用正弦定理和正弦平方差公式:$$\begin{array}{r}{\sin }^{2}C=2({\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B)=2\sin (A+B)\sin (A-B)⟺\sin (A+B)=2\sin (A-B),\end{array}$$
这等价于$$\begin{array}{r}\tan A=3\tan B.\end{array}$$
在锐角 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中，$$\begin{array}{r}0<\tan C=-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=-\frac{4\tan B}{1-3{\tan }^{2}B},\end{array}$$
解得 ${\displaystyle {\displaystyle \tan B>\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow B\in (\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2})}}$.