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某销售公司为了激励员工, 对销售冠军——员工甲进行奖励, 奖励方案为: 在一个盲盒里, 有 ${\displaystyle n}$（足够多）张奖券, 这些奖券的金额各不相等, 其最大值为 ${\displaystyle M}$，但金额具体是多少, 并未公开. 该员工甲需逐张随机抽取并查看金额, 如果对抽取的奖券不满意就弃掉, 继续抽奖（弃掉的奖券不能再抽取）, 如果对这张奖券比较满意就保留, 从而停止抽奖, 公司将以此奖券金额作为奖励.

1. 若甲抽取了两张，把第 ${\displaystyle 2}$ 张奖券保留下来，求甲获得最大金额奖励 ${\displaystyle M}$ 的概率;
2. 若甲先抽取了 ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle k\in N^{+}}$, 且 ${\displaystyle k<n)}$ 张奖券，记录下其中的最大金额为 ${\displaystyle m}$, 然后继续抽取. 若抽到奖券的金额小于 ${\displaystyle m}$, 就继续抽; 当抽到第 ${\displaystyle i(i\in N^{+},k<i\le n)}$ 张奖券时, 其金额大于 ${\displaystyle m}$, 则保留该奖券, 停止抽奖; 若未抽到金额大于 ${\displaystyle m}$ 的奖券, 则保留第 ${\displaystyle n}$ 张.
   1. 若 ${\displaystyle n=5}$，当 ${\displaystyle k=2}$ 时, 求甲获得最大金额奖励 ${\displaystyle M}$ 的概率 ${\displaystyle p}$;
   2. 当调整 ${\displaystyle k}$ 的取值时, 甲获得最大金额奖励 ${\displaystyle M}$ 的概率 ${\displaystyle p}$ 也会发生变化. 若 ${\displaystyle n=100}$, 请估计 ${\displaystyle p}$ 的最大值, 并求此时 ${\displaystyle k}$ 的值.

(估值参考: 当 ${\displaystyle n\ge 100}$ 时, ${\displaystyle \sum _{i=k}^{n-1}\frac{1}{i}\approx \ln \frac{n}{k}}$, ${\displaystyle \mathrm{e}\approx 2.72}$, ${\displaystyle 0.36\ln 0.36\approx -0.3678}$, ${\displaystyle 0.37\ln 0.37\approx -0.3679}$.)

1. 由题意, 甲在第二张抽中 ${\displaystyle M}$. 而第二张中抽到任意奖券的机会均等, 所以概率就是 ${\displaystyle \frac{1}{n}}$.
2. 设事件 ${\displaystyle C:}$ 甲获得最大金额奖励 ${\displaystyle M}$. 若 ${\displaystyle m=M}$, 则 ${\displaystyle \mathbb{P}(C)=0}$, 故只需考虑 ${\displaystyle m<M}$ 的情况.
   设 ${\displaystyle D_i:}$ 抽到的第 ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle i\in {\mathbb{N}}^{\ast }}$, ${\displaystyle k<i\le n}$) 张奖券金额为 ${\displaystyle M}$. 由于只是随机抽取, 抽到每张奖券为 ${\displaystyle M}$ 的机会均等, 所以 ${\displaystyle \mathbb{P}(D_i)=\frac{1}{n}}$. 而只有当 ${\displaystyle m}$ 是前 ${\displaystyle i-1}$ 张奖券中的最大金额, 甲才会保留第 ${\displaystyle i}$ 张奖券, 则 ${\displaystyle \mathbb{P}(C|D_i)=\frac{k}{i-1}}$. 则 $$\mathbb{P}(C)=\sum _{i=k+1}^n\mathbb{P}(D_i)\mathbb{P}(C|D_i)=\frac{1}{n}\sum _{i=k+1}^n\mathbb{P}(C|D_i)=\frac{k}{n}\sum _{i=k}^{n-1}\frac{k}{i}.$$
   1. 若 ${\displaystyle n=5}$, ${\displaystyle k=2}$, 则直接代入上面的公式: ${\displaystyle p=\frac{13}{30}}$.
   2. 当 ${\displaystyle n=100}$, 用估值参考公式 ${\displaystyle p=p(k)\approx \frac{k}{n}\ln \frac{n}{k}}$.
      令 ${\displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}}$, ${\displaystyle x>1}$, 则 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}}$, 所以(单调性分析略) ${\displaystyle f(x{)}_{max}=f(\mathrm{e})=\frac{1}{\mathrm{e}}}$. 此时 ${\displaystyle k=\frac{100}{\mathrm{e}}\approx 36.8}$, 不是整数.
      又 ${\displaystyle p(36)=-0.36\ln 0.36\approx 0.3678}$, ${\displaystyle p(37)=-0.37\ln 0.37\approx 0.3679}$, 所以 ${\displaystyle p}$ 的最大值约为 ${\displaystyle 0.3679}$, 此时 ${\displaystyle k=37}$.