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已知函数 ${\displaystyle f(x)={\mathrm{e}}^x}$, 圆 ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }:x^2+(y-1{)}^2=r^2(r>0)}$, 设 ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ 与 ${\displaystyle f(x)}$ 的图像交于 ${\displaystyle A,B}$ 两点.

1. 求 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (1,\mathrm{e})}$ 处的切线方程;
2. 试判断线段 ${\displaystyle AB}$ 的中点在第几象限, 并证明;
3. 证明: 随着 ${\displaystyle r}$ 的变化, 直线 ${\displaystyle AB}$ 的斜率始终小于 ${\displaystyle 1}$.

1. 解 是 ${\displaystyle y=\mathrm{e}x}$.
2. 解 不妨设 ${\displaystyle B}$ 在 ${\displaystyle A}$ 左侧. 如图 1, ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ 与 ${\displaystyle y=x+1}$ 交于 ${\displaystyle A_1,B_1}$, 由对称性或者韦达定理可以知道 ${\displaystyle x_{A_1}+x_{B_1}=0}$. 对 ${\displaystyle B}$ 而言, 因为 ${\displaystyle x<0}$ 时 ${\displaystyle x+1<{\mathrm{e}}^x<1}$, 所以 ${\displaystyle x_{B_0}<x_B<x_{B_1}}$. 同理对 ${\displaystyle A}$ 而言, ${\displaystyle 0<x_A<x_{A_1}}$, 这样 ${\displaystyle x_A+x_B<x_{A_1}+x_{B_1}=0}$. 而显然有 ${\displaystyle y_A+y_B>0}$, 所以 ${\displaystyle AB}$ 的中点 ${\displaystyle (\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})}$ 在第二象限.
3. 证明 设 ${\displaystyle A(\ln t_1,t_1)}$, ${\displaystyle B(\ln t_2,t_2)}$. 不妨设 ${\displaystyle 0<t_2<1<t_1}$. 如图 2, 作 ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ 上的 ${\displaystyle A_0(1-t_2,1-\ln t_2)}$, 则 ${\displaystyle k_{A{B}_0}=1}$. 要证 ${\displaystyle k_{AB}<1}$, 只需要 ${\displaystyle A_0}$ 在 ${\displaystyle A}$ 左侧, 也即 $$y_{A_0}>f(x_{A_0})⟺{\mathrm{e}}^{1-t_2}+\ln t_2-1<0.$$ 记 ${\displaystyle g(t)={\mathrm{e}}^{1-t}+\ln t-1}$, ${\displaystyle 0<t<1}$, 则 $$g^{\prime }(t)=-{\mathrm{e}}^{1-t}+\frac{1}{t}=\frac{{\mathrm{e}}^{t-1}-t}{t{\mathrm{e}}^{t-1}}\ge 0,$$ 从而 ${\displaystyle g(t)<g(1)=0}$, 这样得证!