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某校各班都要推荐优秀学生代表作为嘉宾与下一届学生进行学习经验分享. ${\displaystyle 2025}$ 届高三年级班号依次为 ${\displaystyle 0,1,2,..,27}$; 高三 ${\displaystyle 0}$ 班的优秀学生代表为 ${\displaystyle 2}$ 名男生和 ${\displaystyle 2}$ 名女生，其余各班的优秀学生代表均为 ${\displaystyle 1}$ 名男生和 ${\displaystyle 1}$ 名女生. 第一场分享会的 ${\displaystyle 4}$ 名学生嘉宾由从高三 ${\displaystyle 0}$ 班的优秀学生代表中选出的 ${\displaystyle 2}$ 名和高三 ${\displaystyle 1}$ 班的 ${\displaystyle 2}$ 名优秀学生代表共同组成, 第二场分享会的 ${\displaystyle 4}$ 名学生嘉宾由从上一场的 ${\displaystyle 4}$ 名嘉宾中选出的 ${\displaystyle 2}$ 名和高三 ${\displaystyle 2}$ 班的 ${\displaystyle 2}$ 名优秀学生代表共同组成, ..., 按照这样的方式, 依次进行到第二十七场分享会.

1. 求第一场分享会的学生嘉宾中恰有 ${\displaystyle 2}$ 名男生的概率；
2. 求第二场分享会的学生嘉宾中恰有 ${\displaystyle 2}$ 名男生的概率；
3. 记第二十七场分享会的学生嘉宾中男生人数为 ${\displaystyle X}$, 求 ${\displaystyle X}$ 的分布列和数学期望.

记第 ${\displaystyle n}$ 场分享会的 ${\displaystyle 4}$ 名学生嘉宾中男生人数为 ${\displaystyle Y_n}$.

1. 第一场分享会中, 只能是 ${\displaystyle 0}$ 班的 ${\displaystyle 1}$ 男 ${\displaystyle 1}$ 女和 ${\displaystyle 1}$ 班的 ${\displaystyle 1}$ 男 ${\displaystyle 1}$ 女, 概率为 $$\mathbb{P}(Y_1=2)=\frac{C_2^1{C}_2^1}{C_4^2}=\frac{2}{3}.$$

2. 第二场分享会中需要恰从第一场分享会中选出 ${\displaystyle 1}$ 男 ${\displaystyle 1}$ 女. 我们首先在 1 中补充计算 $$\mathbb{P}(Y_1=1)=\frac{C_2^0{C}_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}=\mathbb{P}(Y_1=3).$$ 于是根据全概率公式 $$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(Y_2=2)& =\sum _{i=1}^3\mathbb{P}(Y_1=i)\cdot \mathbb{P}(\text{从第一场选出1男1女}|Y_1=i)\\ & =\sum _{i=1}^3\mathbb{P}(Y_1=i)\frac{C_i^1{C}_{4-i}^1}{C_4^2}=\frac{1}{6}\times \frac{1}{2}+\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{11}{18}.\end{array}$$

3. 首先寻找递推关系$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(Y_n=2)& =\frac{1}{2}\mathbb{P}(Y_{n-1}=1)+\frac{2}{3}\mathbb{P}(Y_{n-1}=2)+\frac{1}{2}\mathbb{P}(Y_{n-1}=3)\\ & =\frac{1}{2}[1-\mathbb{P}(Y_{n-1}=2)]+\frac{2}{3}\mathbb{P}(Y_{n-1}=2)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\mathbb{P}(Y_{n-1}=2),n\ge 2,\end{array}$$ 也即 $$\mathbb{P}(Y_n=2)-\frac{3}{5}=\frac{1}{6}[\mathbb{P}(Y_{n-1}=2)-\frac{3}{5}].$$ 这说明 ${\displaystyle \{\mathbb{P}(Y_n=2)-\frac{3}{5}\}}$ 是以 ${\displaystyle \frac{1}{15}}$ 为首项, ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ 为公比的等比数列, 从而 ${\displaystyle \mathbb{P}(Y_n=2)=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}{\left(\frac{1}{6}\right)}^n}$, 进而 ${\displaystyle \mathbb{P}(X=2)=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{27}}$. 根据对称关系, $$\mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}(X=3)=\frac{1-\mathbb{P}(X=2)}{2}=\frac{1}{5}-\frac{1}{5}{\left(\frac{1}{6}\right)}^n.$$ 因此我们写出 ${\displaystyle X}$ 的分布列

   ${\displaystyle X}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$
   ${\displaystyle P}$	${\displaystyle \frac{1}{5}-\frac{1}{5}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{27}}$	${\displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{5}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{27}}$	${\displaystyle \frac{1}{5}-\frac{1}{5}{\left(\frac{1}{6}\right)}^{27}}$

   数学期望为 $$\mathbb{E}[X]=\sum _{i=1}^{3}i\mathbb{P}(X=i)=2.$$