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设 ${\displaystyle a>0}$, ${\displaystyle b>0}$, 若不等式 ${\displaystyle a(a+1{)}^2+b(b+1{)}^2\ge \lambda ab}$ 恒成立, 则实数 ${\displaystyle \lambda }$ 的最大值为_____.

原不等式等价于 $$\lambda \le \frac{(a+1{)}^2}{b}+\frac{(b+1{)}^2}{a}.$$ 利用柯西不等式: $$\text{右边}\ge \frac{(a+b+2{)}^2}{a+b}=(a+b)+\frac{4}{a+b}+4\ge 8,$$ 取等条件为 ${\displaystyle a=b=1}$.
所以 ${\displaystyle \lambda }$ 的最大值为 ${\displaystyle 8}$.