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记 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的内角 ${\displaystyle A,B,C}$ 的对边分别为 ${\displaystyle a,b,c}$. 已知 ${\displaystyle (14a-11c)\cos B=\frac{11(a^2+b^2-c^2)}{2a}}$.

1. 求 ${\displaystyle \cos B}$ 的值;
2. 若 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的面积为 ${\displaystyle \frac{15\sqrt{3}}{4}}$, 再从条件 1、条件 2、条件 3 这三个条件中选择一个作为已知, 使得 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 存在, 并求边长 ${\displaystyle a}$ 的值.
   条件 1: ${\displaystyle b=5}$; 条件 2: ${\displaystyle \sin A-\sin C=1}$; 条件 3: ${\displaystyle C=\frac{2\pi }{3}}$.
   注: 如果选择的条件不符合要求, 2 得 0 分; 如果选择多个符合要求的条件分别解答, 按第一个解答计分.

1. 根据余弦定理 $$\begin{array}{rl}& (14a-11c)\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{11(a^2+b^2-c^2)}{2a}\\ \Rightarrow & 14a(a^2+c^2-b^2)=11c(a^2+c^2-b^2)+11c(a^2+b^2-c^2)=22a^{2}c\\ \text{(*)}& \Rightarrow & \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{11}{14}.\end{array}$$ 同时也可以得到 ${\displaystyle \sin B=\frac{5\sqrt{3}}{14}}$.
2. 在 (*) 中代入 ${\displaystyle b=5}$ 得到 $$7(a^2+c^2-25)=11ac\Rightarrow 7(a+c{)}^2=25(ac+7).$$
   • 如果选择条件 1, 则 $$7(a+c{)}^2=25(ac+7)\ge 7\cdot 4ac,$$ 解得 ${\displaystyle ac\le \frac{175}{3}}$, 则 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的面积 ${\displaystyle S=\frac{1}{2}ac\sin B\le \frac{125\sqrt{3}}{12}}$, 这比给定的 ${\displaystyle \frac{15\sqrt{3}}{4}}$ 大, 所以 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 存在. 并且 $$ac=\frac{2S}{\sin B}=21\Rightarrow a+c=10,$$ 解得 ${\displaystyle a=7}$ 或 ${\displaystyle 3}$.
   • 如果选择条件 3, 则 ${\displaystyle \cos B=\frac{11}{14}>\frac{1}{2}}$, 所以 ${\displaystyle B<\frac{\pi }{3}}$, 这样 ${\displaystyle A>0}$, 所以 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 存在. 此时 $$\sin A=\sin (B+C)=\sin B\cdot (-\frac{1}{2})+\cos B\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{14}.$$ 这样根据正弦定理和面积条件$$a=\sqrt{\left(\frac{a}{b}\right)(ab)}=\sqrt{\left(\frac{\sin A}{\sin B}\right)\left(\frac{2S}{\sin C}\right)}=\sqrt{\frac{3}{5}\cdot 15}=3.$$