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函数 ${\displaystyle f(x)=x-(\frac{1}{2}x+a)\ln x-1}$.

1. 若 ${\displaystyle a=\frac{1}{2}}$, 求 ${\displaystyle f(x)}$ 单调区间;
2. 当 ${\displaystyle x>1}$ 时 ${\displaystyle f(x)<0}$ 恒成立, 求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围;
3. 设 ${\displaystyle a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$, ${\displaystyle T_n=a_1^2+\cdots +a_n^2}$, 请比较 ${\displaystyle 4T_n}$ 与 ${\displaystyle \ln (n+1)}$ 大小, 并说明理由.

1. 当 ${\displaystyle a=\frac{1}{2}}$, ${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{x}-\ln x)\le 0}$, 所以 ${\displaystyle f(x)}$ 的单减区间为 ${\displaystyle (0,+\mathrm{\infty })}$, 没有单增区间.
2. 当 ${\displaystyle a\ge \frac{1}{2}}$ 时, ${\displaystyle f(x)\le f_{\frac{1}{2}}(x)}$ (这里 ${\displaystyle f_{\frac{1}{2}}(x)}$ 是 ${\displaystyle a=\frac{1}{2}}$ 时 ${\displaystyle f(x)}$ 的表达式). 由 (1) 得 ${\displaystyle f_{\frac{1}{2}}(x)<f_{\frac{1}{2}}(1)=0}$, 所以 ${\displaystyle f(x)<0}$ 恒成立.
   当 ${\displaystyle a<\frac{1}{2}}$ 时, ${\displaystyle f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}-a>0}$, 于是存在 ${\displaystyle x_0>1}$, 使得 ${\displaystyle f^{\prime }(x)>0}$ 在 ${\displaystyle (1,m)}$ 上恒成立, 于是 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (1,m)}$ 上单增, ${\displaystyle f(m)>f(1)=0}$, 不成立.
   综上, ${\displaystyle a\ge \frac{1}{2}}$.
3. 从 (2) 中我们提炼出不等式 ${\displaystyle \ln x>\frac{2(x-1)}{x+1}}$, ${\displaystyle x>1}$. 于是 $$\ln \sqrt{\frac{n+1}{n}}>\frac{2(\sqrt{\frac{n+1}{n}}-1)}{\sqrt{\frac{n+1}{n}}+1}=\frac{2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}{)}^2=2a_n^2,$$ 于是 $$4T_n=4(a_1^2+\cdots +a_n^2)<2\sum _{i=1}^n\ln \sqrt{\frac{i+1}{i}}=2\ln \sqrt{n+1}=\ln (n+1).$$ 也即 ${\displaystyle 4T_n<\ln (n+1)}$.