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已知当 ${\displaystyle x\in [0,1]}$ 时, 不等式 ${\displaystyle x^2\cos \theta -x(1-x)+(1-x{)}^2\sin \theta >0}$ 恒成立, 则 ${\displaystyle \theta }$ 的取值范围是_____.

首先代入 ${\displaystyle x=0,1}$, 得到 ${\displaystyle \sin \theta >0,\cos \theta >0}$. 此时左边的二次函数 ${\displaystyle (\cos \theta +\sin \theta +1)x^2-(2\sin \theta +1)x+\sin \theta }$ 有对称轴 ${\displaystyle x=\frac{2\sin \theta +1}{2(\sin \theta +\cos \theta +1)}\in (0,1)}$, 所以只需对称轴处的值 $$\frac{(4\sin \theta \cos \theta -1)(\sin \theta +\cos \theta -1)}{4(\sin \theta +\cos \theta +1{)}^2}>0,$$ 也即 ${\displaystyle \sin 2\theta >\frac{1}{2}}$.
综上, 我们有 ${\displaystyle \sin \theta >0}$, ${\displaystyle \cos \theta >0}$, ${\displaystyle \sin 2\theta >\frac{1}{2}}$, 解得 ${\displaystyle \theta \in (2k\pi +\frac{\pi }{12},2k\pi +\frac{5\pi }{12})}$, ${\displaystyle k\in \mathbb{Z}}$.