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已知函数 ${\displaystyle f(x)=(x-2{)}^2(x-a)}$, ${\displaystyle a\in \mathbb{R}}$.

1. 若 ${\displaystyle x=2}$ 是 ${\displaystyle f(x)}$ 的极小值点, 求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围;
2. 若直线 ${\displaystyle y=t(x-2)}$ (${\displaystyle t>0}$) 与曲线 ${\displaystyle y=f(x)}$ 的三个交点分别为 ${\displaystyle A(x_1,f(x_1))}$, ${\displaystyle B(x_2,f(x_2))}$, ${\displaystyle C(x_3,f(x_3))}$, 且 ${\displaystyle x_1<x_2<x_3}$, ${\displaystyle x_3-x_1=1}$. 记 ${\displaystyle y=f(x)}$ 在 ${\displaystyle A,C}$ 两点处切线的斜率分别为 ${\displaystyle k_1,k_2}$. 若 ${\displaystyle \frac{k_1}{k_2}=\frac{15}{7}}$, 求 ${\displaystyle a}$ 的值;
3. 若 ${\displaystyle f(x)\ge -\frac{1}{\pi }\sin (\pi x)}$ 当且仅当 ${\displaystyle x\ge 2}$, 求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围.

1. 求导得 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=3(x-2)(x-\frac{2a+2}{3})}$. 下面关于 ${\displaystyle \frac{2a+2}{3},2}$ 的大小关系进行讨论, 也即 ${\displaystyle a,2}$ 的大小关系.

   • 如果 ${\displaystyle a=2}$, 则 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=3(x-2{)}^2\ge 0}$, ${\displaystyle x=2}$ 不是极小值点;
   • 如果 ${\displaystyle a>2}$, 则 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (2,\frac{2a+2}{3})}$ 上单减, ${\displaystyle x=2}$ 也不是极小值点;
   • 如果 ${\displaystyle a<2}$, 则 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },\frac{2a+2}{3})}$, ${\displaystyle (2,+\mathrm{\infty })}$ 上单增, 在 ${\displaystyle (\frac{2a+2}{3},2)}$ 上单减, 因此 ${\displaystyle x=2}$ 是极小值点.

   综上, ${\displaystyle a<2}$.

2. 联立 ${\displaystyle y=t(x-2)}$ 和 ${\displaystyle y=f(x)}$, 有 ${\displaystyle x=2}$ 或者 ${\displaystyle t=(x-2)(x-a)}$, 也即 $$\begin{array}{}\text{(1)}& x^2-(2+a)x+2a-t=0.\end{array}$$由于 ${\displaystyle \frac{k_1}{k_2}\ne 0}$, 所以 ${\displaystyle k_1,k_2\ne 0}$, 所以 ${\displaystyle x_1,x_3}$ 均不为 ${\displaystyle 2}$. 所以 ${\displaystyle x_1,x_3}$ 是 (1) 的解, ${\displaystyle x_1+x_3=2+a}$, ${\displaystyle x_1{x}_3=2a-t}$. 再结合 ${\displaystyle x_3-x_1=1}$, 有 ${\displaystyle x_1=\frac{1+a}{2}}$, ${\displaystyle x_3=\frac{3+a}{2}}$, ${\displaystyle t=2a-\frac{(1+a)(3+a)}{4}}$. 再由 $$\frac{k_1}{k_2}=\frac{(x_1-2)(3x_1-2a-2)}{(x_3-2)(3x_3-2a-2)}=\frac{(a-3)(-a-1)}{(a-1)(-a+5)}=\frac{15}{7},$$ 解得 ${\displaystyle a=\frac{3}{2}}$ 或 ${\displaystyle 8}$. 回代入 ${\displaystyle t}$ 来验证是否大于 ${\displaystyle 0}$, 发现只有 ${\displaystyle a=\frac{3}{2}}$ 符合要求.

3. 当 ${\displaystyle a\le 1}$, ${\displaystyle f(1)=1-a\ge 0=-\frac{1}{\pi }\sin (\pi \cdot 1)}$, 但 ${\displaystyle 1}$ 不在指定的 ${\displaystyle \{x\ge 2\}}$ 解集中, 因此不成立. 同理, 当 ${\displaystyle a>3}$, 也可以用 ${\displaystyle f(3)}$ 来推翻. 下面证明 ${\displaystyle 1<a\le 3}$ 是充分条件. 我们先进行换元 ${\displaystyle x=t+2}$, 这样条件等价于 $$t^2(t+2-a)+\frac{1}{\pi }\sin (\pi t)\ge 0,\text{当且仅当}t\ge 0.$$ 当 ${\displaystyle t\ge 0}$, 左边 ${\displaystyle \ge t^2(t-1)+\frac{1}{\pi }\sin (\pi t)}$. 记为 ${\displaystyle g(t)}$. 只需要证明 ${\displaystyle g(t)\ge 0}$.

   • ${\displaystyle t\ge 1}$ 时, ${\displaystyle g^{\prime }(t)=3t^2-2t+\cos (\pi t)\ge 3-2-1=0}$, 所以 ${\displaystyle g(t)\ge g(1)=0}$.
   • ${\displaystyle 0\le t\le \frac{1}{2}}$ 时, 利用 ${\displaystyle \sin (\pi x)\ge 2x}$, 有 $$g(t)\ge t(t^2-t+\frac{2}{\pi })\ge t(-\frac{1}{4}+\frac{2}{\pi })>0.$$
   • ${\displaystyle \frac{1}{2}<t<1}$ 时做换元 ${\displaystyle u=1-t\in (0,\frac{1}{2})}$, 利用 ${\displaystyle \sin u\ge u-\frac{u^3}{6}}$, 有 $$\begin{array}{rl}g(t)& =(1-u{)}^2(-u)+\frac{\sin (\pi u)}{\pi }\ge (1-u{)}^2(-u)+\frac{1}{\pi }(\pi u-\frac{1}{6}(\pi u{)}^3)\\ & =u^2(2-(\frac{{\pi }^2}{6}+1)u)>u^2(2-\frac{1}{2}(\frac{{\pi }^2}{6}+1))>0.\end{array}$$

   因此 ${\displaystyle t\ge 0}$ 时不等式成立; 同理, 我们可以证明 ${\displaystyle t<0}$ 时不等式不成立.
   综上, ${\displaystyle a\in (1,3]}$.