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已知椭圆 ${\displaystyle C^2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$ 的左、右焦点分别为 ${\displaystyle F_1,F_2}$, 离心率是 ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. 其上顶点与右顶点的距离为 ${\displaystyle \sqrt{3}}$.

1. 求椭圆 ${\displaystyle C}$ 的方程;
2. 若直线 ${\displaystyle l:y=kx+m}$ 与椭圆交于第一象限内的 ${\displaystyle A,B}$ 两点 (${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle B}$ 的左侧), ${\displaystyle OA\perp AB}$, 且 ${\displaystyle A{F}_1//B{F}_2}$, 求直线 ${\displaystyle AB}$ 的方程.

1. 是 ${\displaystyle \frac{x^2}{2}+y^2=1}$.
2. 做 ${\displaystyle A}$ 关于 ${\displaystyle O}$ 的对称点 ${\displaystyle A^{\prime }}$. 则根据椭圆的对称关系, ${\displaystyle A^{\prime }{F}_2//A{F}_1}$. 而 ${\displaystyle A{F}_1//B{F}_2}$, 所以 ${\displaystyle B,F_2,A^{\prime }}$ 共线. 这样根据椭圆的第三定义, ${\displaystyle k_{AB}\cdot k_{A^{\prime }B}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{2}}$. 而 ${\displaystyle OA\perp AB}$, 也即 ${\displaystyle k_{OA}\cdot k_{AB}=-1}$, 所以 ${\displaystyle k_{OA}=2k_{A^{\prime }B}=2k_{A{F}_1}}$, 也即 $$\frac{y_A}{x_A}=2\frac{y_A}{x_A+1}\Rightarrow x_A=1,y_A=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ 这样 ${\displaystyle k_{AB}=k=-\frac{1}{k_{OA}}=-\sqrt{2}}$, 从而 ${\displaystyle l:y-\frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}(x-1)}$, 也即 ${\displaystyle y=-\sqrt{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}}$.