椭圆的参数弦方程

我们常用三角函数来表示椭圆上的点. 而一种特别的设法称为参数弦方程. 它将角元改为两倍, 从而得到两点连线的简洁表达. 在应对多次连线、横截距固定的题目中, 它能发挥奇效.

椭圆的参数弦方程

设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a, b > 0$ ) 上有 $A (a \cos 2 α, b \sin 2 α)$ , $B (a \cos 2 β, b \sin 2 β)$ . 则 $l_{A B} : (1 - \tan α \tan β) \frac{x}{a} + (\tan α + \tan β) \frac{y}{b} = 1 + \tan α \tan β .$

证明

我们知道 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 连结的直线可以表示为 $l : (y_{2} - y_{1}) x - (x_{2} - x_{1}) y = y_{2} x_{1} - y_{1} x_{2} .$ 代入 $A, B$ : $b (\sin 2 β - \sin 2 α) x - a (\cos 2 β - \cos 2 α) y = a b (\sin 2 β \cos 2 α - \sin 2 α \cos 2 β) .$ 利用和差化积公式: $2 \cos (β + α) \sin (β - α) \frac{x}{a} + 2 \sin (β + α) (β - α) \frac{y}{b} = \sin (2 β - 2 α) = 2 \sin (β - α) \cos (β - α) .$ 同除 $\sin (β - α)$ : $\cos (β + α) \frac{x}{a} + \sin (β + α) \frac{y}{b} = \cos (β - α) .$ 展开得 $(\cos β \cos α - \sin β \sin α) \frac{x}{a} + (\sin β \cos α + \sin α \cos β) \frac{y}{b} = \cos β \cos α + \sin β \sin α .$ 同除 $\cos β \cos α$ 就得到了结论式.