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已知函数 ${\displaystyle f(x)={\displaystyle x-\frac{1}{x}-m\ln x-m}}$, 其中 ${\displaystyle \mathrm{e}}$ 是自然对数的底数.

1. 讨论 ${\displaystyle f(x)}$ 的单调性;
2. 若 ${\displaystyle m=1}$, 设关于 ${\displaystyle x}$ 的不等式 ${\displaystyle {\displaystyle f(x)\le x\ln x-\frac{1}{x}-kx+n}}$ 对 ${\displaystyle \mathrm{\forall }x\in [1,\mathrm{e}]}$ 恒成立时 ${\displaystyle k}$ 的最大值为 ${\displaystyle c(k\in \mathbb{R},n\in [1,\mathrm{e}])}$，求 ${\displaystyle n+c}$ 的取值范围.

1. ${\displaystyle f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{x^2-mx+1}{x^2},x>0}}$.

   • 当 ${\displaystyle m\le 2}$, ${\displaystyle f^{\prime }(x){\displaystyle \ge \frac{2x-mx}{x^2}\ge 0}}$, 故 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,+\mathrm{\infty })}$ 上单增;
   • 当 ${\displaystyle m>2}$, 令 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=0\Rightarrow {\displaystyle x=\frac{m\pm \sqrt{m^2-4}}{2}>0}}$，列表分析得 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle {\displaystyle (0,\frac{m-\sqrt{m^2-4}}{2})}}$, ${\displaystyle {\displaystyle (\frac{m+\sqrt{m^2-4}}{2},+\mathrm{\infty })}}$ 上增，在 ${\displaystyle {\displaystyle (\frac{m-\sqrt{m^2-4}}{2},\frac{m+\sqrt{m^2-4}}{2})}}$ 上减.

2. 代入 ${\displaystyle m=1}$，原不等式等价于$$\begin{array}{r}k+1\le \frac{(1+n)+(1+x)\ln x}{x},\end{array}$$
   记右侧函数为${\displaystyle g(x)}$.则${\displaystyle {\displaystyle g^{\prime }(x)=\frac{x-\ln x-n}{x^2}}}$.注意到当${\displaystyle x\in [1,\mathrm{e}],x-\ln x}$单增.

   • 当 ${\displaystyle \mathrm{e}-1\le n\le \mathrm{e}}$, ${\displaystyle g^{\prime }(x)\le 0}$.因此 ${\displaystyle c=g(\mathrm{e})-1={\displaystyle \frac{2+n}{\mathrm{e}}}}$，故 ${\displaystyle {\displaystyle c+n\in [\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}},\frac{2}{\mathrm{e}}+\mathrm{e}+1]}}$.
   • 当 ${\displaystyle 1\le n<\mathrm{e}-1}$, ${\displaystyle \mathrm{\exists }!x_n\in [1,\mathrm{e}]}$,使得 ${\displaystyle x_n-\ln x_n=n,g^{\prime }(x_n)=0}$.容易分析得 ${\displaystyle g(x)}$ 在 ${\displaystyle (1,x_n)}$ 上减，${\displaystyle (x_n,\mathrm{e})}$ 上增，因此 ${\displaystyle c=g(x_n)-1=\ln x_n+{\displaystyle \frac{1}{x_n},c+n=x_n+\frac{1}{x_n}}}$.随着 ${\displaystyle n}$ 的增大，${\displaystyle x_n}$ 必连续地从 ${\displaystyle 1}$ 变化至 ${\displaystyle \mathrm{e}}$，故 ${\displaystyle c+n\in {\displaystyle [2,\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}}]}}$.

   综上，${\displaystyle c+n\in \left[{\displaystyle 2,\frac{2}{\mathrm{e}}+\mathrm{e}+1}\right]}$.