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若 ${\displaystyle x,y}$ 为正实数, ${\displaystyle xy=1}$, 求 ${\displaystyle min\{\frac{1}{2}x-\frac{1}{3},\frac{1}{3}y-\frac{1}{2}\}}$ 和 ${\displaystyle max\{3x-3,2y-4\}}$ 的乘积的最大值.

将 ${\displaystyle y}$ 消为 ${\displaystyle \frac{1}{x}}$. 记 ${\displaystyle f(x)=min\{\frac{1}{2}x-\frac{1}{3},\frac{1}{3x}-\frac{1}{2}\}}$, ${\displaystyle g(x)=max\{3x-3,\frac{2}{x}-4\}}$. 绘制出如图的图像, 注意到两个函数的分段点都是 ${\displaystyle x=\frac{2}{3}}$. 则 ${\displaystyle f(x)g(x)}$ 的最大值应该在这两个函数都取负值的时候得到, 需要分两段讨论.

• 当 ${\displaystyle \frac{1}{2}<x<\frac{2}{3}}$, $$f(x)g(x)=(\frac{1}{2}x-\frac{1}{3})(\frac{2}{x}-4)=\frac{7}{3}-(\frac{2}{3x}+2x)\le \frac{7-4\sqrt{3}}{3},$$ 取等条件为 ${\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{3}}$.
• 当 ${\displaystyle \frac{2}{3}<x<1}$, $$f(x)g(x)=(\frac{1}{3x}-\frac{1}{2})(3x-3)=\frac{5}{2}-(\frac{1}{x}+\frac{3}{2}x)\le \frac{5-2\sqrt{6}}{2},$$ 取等条件为 ${\displaystyle x=\frac{\sqrt{6}}{3}}$.

下面说明 ${\displaystyle \frac{7-4\sqrt{3}}{3}<\frac{5-2\sqrt{6}}{2}}$. 因为 $$4\sqrt{3}<7<3\sqrt{2}+4,$$ 所以 $$\frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{2}+4}=2\sqrt{3}(3\sqrt{2}-4)<1\Rightarrow -8\sqrt{3}<1-6\sqrt{6},$$ 这样就得证了. 所以最后的答案为 ${\displaystyle \frac{5-2\sqrt{6}}{2}}$.