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${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 的内角 ${\displaystyle A,B,C}$ 的对边分别为 ${\displaystyle a,b,c}$, 已知 ${\displaystyle c^2=2a^2-2b^2}$, 求 ${\displaystyle A-B}$ 的最大值.

依据正弦函数的平方差公式 ${\displaystyle {\sin }^2\alpha -{\sin }^2\beta =\sin (\alpha +\beta )\sin (\alpha -\beta )}$, 及正弦定理，可知条件式等价于$$\begin{array}{r}{\sin }^{2}C=2\sin (A+B)\sin (A-B)=2\sin C\sin (A-B)\Rightarrow \sin C=2\sin (A-B).\end{array}$$
首先由${\displaystyle 2a^2-2b^2=c^2>0}$得${\displaystyle a>b}$, 故${\displaystyle 0<A-B<\pi }$. 若${\displaystyle A-B\ge {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}}$, 则${\displaystyle {\displaystyle A>\frac{\pi }{2}>B}}$. 但上述条件式可以进一步变形为$$\begin{array}{r}\sin (A+B)=2\sin (A-B)\Rightarrow 0>3\sin B\cos A=\sin A\cos B>0,\end{array}$$
矛盾. 因此${\displaystyle A-B{\displaystyle <\frac{5\pi }{6}}}$, 从而$$\begin{array}{r}\sin (A-B)=\frac{1}{2}\sin C\le \frac{1}{2}\Rightarrow A-B\le \frac{\pi }{6},\end{array}$$
(因为 ${\displaystyle \ge {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}}$ 的分支已被排除)取等条件为 ${\displaystyle {\displaystyle (A,B,C)=(\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{2})}}$.