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已知函数 ${\displaystyle f(x)=(x-1){\mathrm{e}}^x-a\ln x(a\in \mathbb{R})}$.

1. 当 ${\displaystyle a=\mathrm{e}}$ 时，求 ${\displaystyle f(x)}$ 的最小值;
2. 若 ${\displaystyle f(x)}$ 有 ${\displaystyle 2}$ 个零点，求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围.

1. 注意到$$\begin{array}{r}F(x)=(x-1){\mathrm{e}}^x-\mathrm{e}\ln x\ge (x-1)({\mathrm{e}}^x-\mathrm{e})\ge 0,\text{“=”}⟺x=1,\end{array}$$
   故 ${\displaystyle f(x)}$ 最小值为 ${\displaystyle 0}$.

2. 当 ${\displaystyle a\le 0,f^{\prime }(x)=x{\mathrm{e}}^x-{\displaystyle \frac{a}{x}\ge 0}}$，${\displaystyle f(x)}$ 单增，不会有 ${\displaystyle 2}$ 个零点；当 ${\displaystyle a=\mathrm{e}}$, 由 1 可知 ${\displaystyle f(x)}$ 仅有 ${\displaystyle 1}$ 一个零点.
   当 ${\displaystyle 0<a<\mathrm{e}}$ 或 ${\displaystyle a>\mathrm{e}}$, ${\displaystyle f^{″}(x)=(x+1){\mathrm{e}}^x+{\displaystyle \frac{a}{x^2}\ge 0}}$, 而$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(\sqrt{a})& =\sqrt{a}({\mathrm{e}}^{\sqrt{a}}-1)>0,\\ f^{\prime }(x_0)& =f^{\prime }(min\{\sqrt{\frac{a}{\mathrm{e}}},1\})<\frac{1}{x_0}(x_0^2\mathrm{e}-a)<0,\end{array}$$
   可知${\displaystyle f^{\prime }(x)}$在${\displaystyle (x_0,\sqrt{a})}$之间存在唯一零点${\displaystyle x_1:a=x_1^2{\mathrm{e}}^{x_1}}$. 因此${\displaystyle f(x)}$至多有两个零点，且肯定有一者为${\displaystyle 1}$. 注意到$$\begin{array}{rl}f(x_1)=& (x_1-1){\mathrm{e}}^{x_1}-{\mathrm{e}}^{x_1}{x}_1^2\ln x_1={\mathrm{e}}^{x_1}(x_1-1+x_1^2\ln \frac{1}{x_1})\\ \le & {\mathrm{e}}^{x_1}(x_1-1+x_1^2(\frac{1}{x_1}-1))=-{\mathrm{e}}^{x_1}(x_1-1{)}^2\le 0,\end{array}$$
   这样，

   • 当 ${\displaystyle 0<a<\mathrm{e},x_1<1}$ (否则 ${\displaystyle x_1^2{\mathrm{e}}^{x_1}\ge \mathrm{e}>a}$), $$f(x_2)=f({\mathrm{e}}^{-a/\mathrm{e}})>-\mathrm{e}-a\ln x_2=0,x_2<1,$$${\displaystyle f(x)}$ 除了 ${\displaystyle 1}$ 外的另一个零点存在于 ${\displaystyle x_2,x_1}$ 构成的区间内；
   • 当 ${\displaystyle a>\mathrm{e}}$, 同理 ${\displaystyle x_1>1}$, $$f(x_3)=f(\ln a)>(x_3-1)({\mathrm{e}}_3^x-a)=0,x_3>1.$$${\displaystyle f(x)}$ 除了 ${\displaystyle 1}$ 外的另一个零点存在于 ${\displaystyle x_1,x_3}$ 构成的区间内.

   综上，${\displaystyle a\in (0,\mathrm{e})\cup (\mathrm{e},+\mathrm{\infty })}$.