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已知 ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ 成公比为 ${\displaystyle 2}$ 的等比数列，且 ${\displaystyle \alpha \in (0,\pi )}$. 若 ${\displaystyle \cos \alpha ,\sqrt{3}\cos \beta ,\sin \gamma }$ 成等比数列，求所有满足条件的 ${\displaystyle \alpha }$ 的和.

第一个条件等价于 ${\displaystyle \beta =2\alpha ,\gamma =2\beta =4\alpha }$.则第二个条件等价于$$\begin{array}{r}3{\cos }^{2}2\alpha =\cos \alpha \sin 4\alpha =2\sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos \alpha .\end{array}$$

• ${\displaystyle \cos 2\alpha =0}$，这会被舍去，因为等比数列中不能含有0的项.
• 否则${\displaystyle \cos 2\alpha \ne 0}$，因此$$\begin{array}{rl}& 3\cos 2\alpha =4\sin \alpha {\cos }^2\alpha \\ ⟺& 3-6{\sin }^2\alpha =4\sin \alpha (1-{\sin }^2\alpha )\\ ⟺& 4x^3-6x^2-4x-3=(2x-1)(2x^2-2x-3)=0,\end{array}$$
  其中${\displaystyle x=\sin \alpha \in (0,1)}$，因此解得${\displaystyle x={\displaystyle \frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\frac{\pi }{6}\text{或}\frac{5\pi }{6}}}$.

因此 ${\displaystyle \alpha }$ 的解之和为 ${\displaystyle \pi }$.