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进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统, 约定 "满二进一" 就是二进制; "满十进一" 就是十进制; "满十六进一" 就是十六进制等. 一般地, 若 ${\displaystyle k}$ 是一个大于 ${\displaystyle 1}$ 的整数, 那么以 ${\displaystyle k}$ 为基数的 ${\displaystyle k}$ 进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式 ${\displaystyle a_n{a}_{n-1}\cdots a_1{a}_{0(k)}}$, 其中 ${\displaystyle a_n,a_{n-1},\cdots ,a_0\in \{0,1,2,\cdots ,k-1\}}$, 且 ${\displaystyle a_n\ne 0}$, ${\displaystyle a_n{a}_{n-1}\cdots a_1{a}_{0(k)}=a_n{k}^n+a_{n-1}{k}^{n-1}+\cdots +a_{1}k+a_0}$, 如 ${\displaystyle 22=2\times 3^2+1\times 3+1}$, 所以 ${\displaystyle 22}$ 在三进制下可写为 ${\displaystyle {211}_{(3)}}$.

1. 将五进制数 ${\displaystyle {211}_{(5)}}$ 转化为三进制数;
2. 对于任意两个不同的 ${\displaystyle n+1}$ 位二进制数 ${\displaystyle a_n{a}_{n-1}\cdots a_1{a}_{0(2)}}$, ${\displaystyle b_n{b}_{n-1}\cdots b_1{b}_{0(2)}}$, ${\displaystyle a_n=b_n=1}$, 记 ${\displaystyle X=\sum _{i=0}^n|a_i-b_i|}$.
   1. 若 ${\displaystyle n=3}$, 求随机变量 ${\displaystyle X}$ 的分布列与数学期望;
   2. 证明: ${\displaystyle \mathbb{E}(X)>\frac{n}{2}}$.

1. 解 ${\displaystyle {211}_{(5)}=2\times 5^2+1\times 5^1+1\times 5^0=56}$, 而 ${\displaystyle 56=2\times 3^3+0\times 3^2+2\times 3^0+2\times 3^0}$, 所以三进制数位 ${\displaystyle {2002}_{(3)}}$.
2. 对于 ${\displaystyle a_{n-1},\cdots ,a_0,b_{n-1},\cdots ,b_0\in \{0,1\}}$, 唯一的要求是两组数不完全相等, 也即 ${\displaystyle X>0}$. 这样 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathbb{P}(X=i|X>0)=\frac{\mathbb{P}(X=i)}{\mathbb{P}(X>0)}=\frac{C_n^i{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}=\frac{C_n^i}{2^n-1},1\le i\le n.\end{array}$$

   1. 解 当 ${\displaystyle n=3}$, 代入 (1): ${\displaystyle X}$ 的分布列为

      ${\displaystyle X}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$
      ${\displaystyle \mathbb{P}}$	${\displaystyle \frac{3}{7}}$	${\displaystyle \frac{3}{7}}$	${\displaystyle \frac{1}{7}}$

      期望为 ${\displaystyle \frac{12}{7}}$.

   2. 证明 注意到 $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}(X)& =\sum _{i=1}^{n}i\mathbb{P}(X=i|X>0)=\frac{1}{2^n-1}\sum _{i=1}^{n}i{C}_n^i\stackrel{\ast }{=}\frac{1}{2^n-1}\sum _{i=1}^{n}n{C}_{n-1}^{i-1}\\ & =\frac{n}{2^n-1}\sum _{i=0}^{n-1}{C}_{n-1}^i\stackrel{\ast \ast }{=}\frac{2^{n-1}n}{2^n-1}>\frac{2^{n-1}n}{2^n}=\frac{n}{2}.\end{array}$$ 所以证毕.