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已知函数 ${\displaystyle f(x)=(x-a)\cos x-\sin x+a,a\in \mathbb{R}}$.

1. 若 ${\displaystyle a=0}$，求 ${\displaystyle f(x)}$ 的所有单调区间;
2. 若 ${\displaystyle g(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{(x-a{)}^2+|a-\sin a|}}}$ 在区间 ${\displaystyle [0,\pi ]}$ 上的最大值为 ${\displaystyle 1}$，求 ${\displaystyle a}$ 的范围.

求导得 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=-\sin x(x-a)}$.

1. 当 ${\displaystyle a=0}$，有 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=-x\sin x}$. 容易看出 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (2k\pi ,\pi +2k\pi ),(-\pi -2k\pi ,-2k\pi )}$ 上减，在 ${\displaystyle (\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi ),(-2\pi -2k\pi ,-\pi -2k\pi )}$ 上增，其中 ${\displaystyle k\in \mathbb{N}}$.

2. 如果 ${\displaystyle a\le 0}$，则在 ${\displaystyle [0,\pi ]}$ 上 ${\displaystyle f^{\prime }(x)\le 0\Rightarrow f(x)\le f(0)=0}$. 而 ${\displaystyle h(x)}$ 的分母 ${\displaystyle (x-a{)}^2+|a-\sin a|\ge 0}$ (特别地当 ${\displaystyle x=0,a=0}$, ${\displaystyle h(x)}$ 无定义，需要舍去 ${\displaystyle a=0}$)，因此 ${\displaystyle h(x)\le 0}$，这与 ${\displaystyle h(x)}$ 有最大值 ${\displaystyle 1}$ 矛盾，因此 ${\displaystyle a>0}$. 记 ${\displaystyle h(x)=(x-a{)}^2+|a-\sin a|=(x-a{)}^2+a-\sin a}$, 则 ${\displaystyle g(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{h(x)},g^{\prime }(x)=\frac{-\sin x(x-a)h(x)-2(x-a)f(x)}{h^2(x)}}}$. 下面进行讨论.

   • ${\displaystyle a>\pi }$，则 ${\displaystyle f^{\prime }(x)\ge 0,f(x)\ge f(0)=0}$. 这样直接观察得 ${\displaystyle g^{\prime }(x)\ge 0}$, 也即 ${\displaystyle g(x{)}_{max}=g(1)=1}$，整理得 $$\begin{array}{r}(\pi -a{)}^2+(\pi -a)-\sin (\pi -a)=0.\end{array}$$
     记 ${\displaystyle u(x)=x^2+x-\sin x,x<0}$，则 ${\displaystyle {\displaystyle u^{\prime }(x)=2x+1-\cos x,u^{″}(x)=2+\sin x>0}}$,从而 ${\displaystyle u^{\prime }(x)<u(0)=0\Rightarrow u(x)>u(0)=0}$，故上述方程无解.
   • ${\displaystyle 0<a\le \pi }$, 此时 ${\displaystyle x=a}$ 是 ${\displaystyle f(x)}$ 的极大值点，${\displaystyle f(x)\le f(a)=a-\sin a}$, 而显然 ${\displaystyle h(x)\ge h(a)=a-\sin a}$，故 ${\displaystyle g(x)\le 1=g(a)}$, 满足题意.

   综上，${\displaystyle a\in (0,\pi ]}$.