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设函数 ${\displaystyle f(x)=x^3-a{x}^2}$.

1. 讨论 ${\displaystyle f(x)}$ 的单调性;
2. 若对任意 ${\displaystyle x\in (0,+\mathrm{\infty })}$, ${\displaystyle f(x)\ge \ln x}$ 恒成立, 求 ${\displaystyle a}$ 的取值范围;
3. 当 ${\displaystyle a=1}$ 时, 若 ${\displaystyle f(x_1)+f(x_2)=0}$, 且 ${\displaystyle x_1{x}_2>0}$, 证明: ${\displaystyle f(x_1{x}_2)\le f\left(\frac{1}{x_1}\right)+f\left(\frac{1}{x_2}\right)}$.

1. 解 ${\displaystyle f^{\prime }(x)=x(3x-2a)}$.

   • 当 ${\displaystyle a=0}$, ${\displaystyle f^{\prime }(x)\ge 0}$, ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle \mathbb{R}}$ 上单增;
   • 当 ${\displaystyle a>0}$, 列表容易得到 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },0),(\frac{2}{3}a,+\mathrm{\infty })}$ 上单增, 在 ${\displaystyle (0,\frac{2}{3}a)}$ 上单减.
   • 当 ${\displaystyle a<0}$, 容易得到 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (-\mathrm{\infty },\frac{2}{3}a),(0,+\mathrm{\infty })}$ 上单增, 在 ${\displaystyle (\frac{2}{3}a,0)}$ 上单减.

2. 解 记 ${\displaystyle g(x)=f(x)-\ln x}$.

   • 当 ${\displaystyle a\le 1}$ 时, ${\displaystyle f(x)\ge x^3-x^2}$. 下面证明 ${\displaystyle g(x)\ge 0}$. 因为 ${\displaystyle g^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(3x^2+x+1)}{x}}$, 所以 ${\displaystyle g(x)}$ 在 ${\displaystyle (0,1)}$ 上减, 在 ${\displaystyle (1,+\mathrm{\infty })}$ 上增, 则 ${\displaystyle g(x)\ge g(1)=0}$. 说明 ${\displaystyle a\le 1}$ 满足题意.
   • 当 ${\displaystyle a>1}$ 时, ${\displaystyle g^{\prime }(1)=2(1-a)<0}$, 说明 ${\displaystyle \mathrm{\exists }\epsilon >1}$, ${\displaystyle g(x)}$ 在 ${\displaystyle (1,\epsilon )}$ 上单减, ${\displaystyle g(\epsilon )<g(1)=0}$, 不符合题意. ^[1]

   综上, ${\displaystyle a\le 1}$.

3. 证明 当 ${\displaystyle a=1}$, ${\displaystyle f(x)>0}$ 当且仅当 ${\displaystyle x>1}$. 如果 ${\displaystyle x_1,x_2}$ 都是负数, 则 ${\displaystyle f(x_1)+f(x_2)<0}$, 因此只能有 ${\displaystyle x_1,x_2}$ 都是正数. 根据 2, $$0=f(x_1)+f(x_2)\ge \ln x_1+\ln x_2=\ln x_1{x}_2,$$ 所以 ${\displaystyle x_1{x}_2\le 1}$. 从而 ${\displaystyle f(x_1{x}_2)\le 0}$. 从而 $$f\left(\frac{1}{x_1}\right)+f\left(\frac{1}{x_2}\right)\ge \ln \frac{1}{x_1}+\ln \frac{1}{x_2}=-\ln x_1{x}_2\ge 0\ge f(x_1{x}_2).$$ 等号成立当且仅当 ${\displaystyle x_1=x_2=1}$.