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如图所示, 在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中, ${\displaystyle AB=3AC}$, ${\displaystyle AD}$ 平分 ${\displaystyle \mathrm{\angle }BAC}$, 且 ${\displaystyle AD=kAC}$.

1. 若 ${\displaystyle DC=2}$, 求 ${\displaystyle BC}$ 的长度;
2. 求 ${\displaystyle k}$ 的取值范围;
3. 若 ${\displaystyle S_{\mathrm{\Delta }ABC}=1}$, 求 ${\displaystyle k}$ 为何值时, ${\displaystyle BC}$ 最短.

1. 根据角平分线定理, ${\displaystyle BD=DC\cdot \frac{AB}{AC}=6}$, 则 ${\displaystyle BC=8}$.
2. 根据等积关系 $$\begin{array}{rl}& S_{\mathrm{\Delta }ABC}=S_{\mathrm{\Delta }ABD}+S_{\mathrm{\Delta }ACD}\\ \Rightarrow & 3b^2\sin A=4b^{2}k\sin \frac{A}{2}\Rightarrow k=\frac{3}{2}\cos \frac{A}{2}\in (0,\frac{3}{2}).\end{array}$$
3. 由面积条件 ${\displaystyle \frac{1}{2}3b^2\sin A=1}$. 这样$$\begin{array}{rl}BC& =\sqrt{b^2+(3b{)}^2-2b(3b)\cos A}\\ & =2\sqrt{\frac{5-3\cos A}{3\sin A}}\ge 2\sqrt{\frac{(3\cos A+4\sin A-3\cos A)}{3\sin A}}=\frac{4\sqrt{3}}{3},\end{array}$$ 这里用到了辅助角公式, 取等条件为 ${\displaystyle \cos A=\frac{3}{5}}$, 从而 $$k=\frac{3}{2}\cos \frac{A}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{\cos A+1}{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.$$