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在平面四边形 ${\displaystyle ABCD}$ 中, ${\displaystyle AB=2}$, ${\displaystyle AD=4}$.

1. 若 ${\displaystyle BC=2CD=2}$.
   1. 若 ${\displaystyle A,B,C,D}$ 四点共圆 ${\displaystyle M}$, 求 ${\displaystyle AC}$;
   2. 求四边形 ${\displaystyle ABCD}$ 面积 ${\displaystyle S}$ 的最大值.
2. 若 ${\displaystyle \mathrm{\angle }BAD=\frac{\pi }{3}}$, ${\displaystyle \mathrm{\angle }BCD=\frac{2\pi }{3}}$, ${\displaystyle AC}$ 与 ${\displaystyle BD}$ 交于点 ${\displaystyle O}$. 记 ${\displaystyle \mathrm{\angle }CAD=\theta }$, 求当 ${\displaystyle \theta }$ 为何值时, ${\displaystyle S_{\mathrm{\Delta }AOD}=2S_{\mathrm{\Delta }BOC}}$.

1. 设 ${\displaystyle AC=x}$, 则根据余弦定理 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \cos B=\frac{8-x^2}{8},\cos D=\frac{17-x^2}{8}.\end{array}$$
   1. 因为 ${\displaystyle A,B,C,D}$ 共圆, 所以 ${\displaystyle \mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }D=\pi }$, 所以 $$0=\cos B+\cos D=\frac{25-2x^2}{8}\Rightarrow x=\frac{5\sqrt{2}}{2}.$$
   2. 在 (1) 中消去 ${\displaystyle x^2}$, 得到 ${\displaystyle \cos B-\cos D=-\frac{9}{8}}$, 于是 $$\begin{array}{rl}& (\sin B+\sin D{)}^2+(\cos B-\cos D{)}^2=(\sin B+\sin D{)}^2+\frac{81}{64}=2-2\cos (B+D)\le 4,\end{array}$$ 从而 ${\displaystyle \sin B+\sin D\le \frac{5\sqrt{7}}{8}}$, 这样 $$S=\frac{1}{2}(AB\cdot BC\sin B+AD\cdot DC\sin D)=2(\sin B+\sin D)\le \frac{5\sqrt{7}}{4}.$$
2. 由于 ${\displaystyle \mathrm{\angle }BAD+\mathrm{\angle }BCD=\pi }$, 所以 ${\displaystyle A,B,C,D}$ 共圆, 于是 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }OAD\sim \mathrm{\Delta }OBC}$, 这样 ${\displaystyle \mathrm{\angle }DBC=\theta }$, 且 ${\displaystyle S_{\mathrm{\Delta }AOD}=2S_{\mathrm{\Delta }BOC}}$ 等价于 ${\displaystyle BC=\frac{AD}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}}$.
   在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABD}$ 中, 根据余弦定理 $$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2-2AB\cdot AD\cos \mathrm{\angle }BAD}=2\sqrt{3}.$$ 在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }BCD}$ 中, 根据正弦定理 $$\frac{BD}{\sin \mathrm{\angle }BCD}=\frac{BC}{\sin \mathrm{\angle }BDC}\Rightarrow \sin \mathrm{\angle }BDC=\frac{\sqrt{2}}{2},$$ 这样 ${\displaystyle \mathrm{\angle }BDC=\frac{\pi }{4}}$ (因为 ${\displaystyle \mathrm{\angle }BCD}$ 已经是钝角了所以舍去另一解), 这样 ${\displaystyle \theta =\pi -\mathrm{\angle }BCD-\mathrm{\angle }BDC=\frac{\pi }{12}}$.