塔式法则

对于随机变量 ${\displaystyle Y}$, 满足 ${\displaystyle \mathbb{E}[|Y|]<+\mathrm{\infty }}$, 则 $$\mathbb{E}[Y]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]].$$

在连续型变量的情形下 $$\begin{array}{rl}\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y|X]]=& \int \mathbb{E}[Y|X=x]f_X(x)\mathrm{d}x\\ =& \int \left[\int y{f}_{Y|x=x}(y)\mathrm{d}y\right]f_X(x)\mathrm{d}x\\ =& \int y[\int f_{Y|X=x}(y)f_X(x)\mathrm{d}x]\mathrm{d}y\\ \stackrel{\ast }{=}& \int y{f}_Y(y)\mathrm{d}y=\mathbb{E}[Y].\end{array}$$ 这里 (*) 是因为全概率公式.
如果是离散型随机变量, 把积分替换为求和即可.