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若关于 ${\displaystyle x}$ 的不等式 ${\displaystyle a(\ln x+\ln a)\le 2{\mathrm{e}}^{2x}}$ 在 ${\displaystyle (0,+\mathrm{\infty })}$ 上恒成立，求实数 ${\displaystyle a}$ 的取值范围.

记 ${\displaystyle f(x)=x{\mathrm{e}}^x,x>0}$, 则显然 ${\displaystyle f(x)}$ 单增. 而原不等式等价于$$\begin{array}{r}ax(\ln ax)\le 2x{\mathrm{e}}^{2x}⟺f(\ln ax)\le f(2x)⟺\ln ax\le 2x⟺\ln a\le 2x-\ln x,\end{array}$$
记 ${\displaystyle g(x)=2x-\ln x,g^{\prime }(x)=2-{\displaystyle \frac{1}{x}}}$, 容易知道 ${\displaystyle g(x{)}_{min}=g{\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)=1+\ln 2}}$, 则 ${\displaystyle a\le {\mathrm{e}}^{g(1/2)}=2\mathrm{e}}$, 即 ${\displaystyle a\in (0,2\mathrm{e}]}$.