1610

#三角函数 #零点

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已知函数 $f (x) = | \sin x | + | \cos x | + a \sin x \cos x$ , 其中 $a$ 为实数.

若 $f (x)$ 为偶函数, 求 $a$ 的值.
当 $a = 1$ 时, 求函数 $f (x)$ 的值域.
已知 $n$ 为正整数, 若函数 $f (x)$ 在 $(0, n π)$ 内恰有 $1111$ 个零点, 求 $a$ 和 $n$ 的值.

解

由于 $f (- x) = | \sin x | + | \cos x | - a \sin x \cos x = f (x)$ 对任意 $x$ 成立, 所以 $a \sin x \cos x = 0$ , 所以 $a = 0$ .
因为 $(| \sin x | + | \cos x |)^{2} = 1 + | \sin 2 x | \in [1, 2],$ 所以 $| \sin x | + | \cos x | \in [1, \sqrt{2}]$ . 这样一方面 $x + \frac{x^{2}}{4}$ 在 $[1, \sqrt{2}]$ 上单增, 所以 $f (x) \leq | \sin x | + | \cos x | + \frac{(| \sin x | + | \cos x |)^{2}}{4} \leq \sqrt{2} + \frac{1}{2},$ 可以在 $x = \frac{π}{4}$ 时取等. 另一方面 $x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2}$ 在 $[1, \sqrt{2}]$ 上单减, 所以 $\begin{aligned} f (x) & = | \sin x | + | \cos x | - \frac{(\sin x - \cos x)^{2}}{2} + \frac{1}{2} \\ \geq | \sin x | + | \cos x | - \frac{(| \sin x | + | \cos x |)^{2}}{2} + \frac{1}{2} \\ \geq \sqrt{2} - \frac{1}{2}, \end{aligned}$ 可以在 $x = \frac{3 π}{4}$ 时取等.
所以 $f (x)$ 的值域是 $[\sqrt{2} - \frac{1}{2}, \sqrt{2} + \frac{1}{2}]$ .
注意到 $f (x) = f (x + π)$ , 因此我们只考虑 $(0, π)$ 上的情况. 如果 $f (x)$ 有零点 $α \in (0, \frac{π}{4})$ , 取 $β = \frac{π}{2} - α \in (\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ . 则 $f (β) = | \cos α | + | \sin α | + \frac{a}{2} \sin (π - α) = f (α) = 0.$ 同理, 如果有零点 $α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4})$ , 则 $β = \frac{3 π}{2} - α \in (\frac{3 π}{4}, π)$ 也是零点。这意味着这些地方的零点都是成对出现, 总和一定是一个偶数. 但是 $1111$ 是一个奇数, 所以零点只能由 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ 来贡献, 分别解得 $a = - 2 \sqrt{2}$ 和 $a = 2 \sqrt{2}$ .
当 $a = - 2 \sqrt{2}$ , 容易得到 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上只有一个零点, 因此 $n = 1111$ . 同理 $a = 2 \sqrt{2}$ 时也是如此.
综上, $n = 1111$ , $a = \pm 2 \sqrt{2}$ .