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已知函数 ${\displaystyle f(x)=\sin \omega x}$, ${\displaystyle \omega \in (0,+\mathrm{\infty })}$, 若存在 ${\displaystyle x_1,x_2\in [\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]}$, 使得 ${\displaystyle |f(x_1)-f(x_2)|\ge 2}$, 则 ${\displaystyle \omega }$ 的最小值为_____.

题目等价于 ${\displaystyle f(x)=\sin x}$ 在 ${\displaystyle I=[\frac{\omega \pi }{4},\frac{\omega \pi }{2}]}$ 上取到最大值 ${\displaystyle 1}$、最小值 ${\displaystyle -1}$.
如果 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}\in [\frac{\omega \pi }{4},\frac{\omega \pi }{2}]}$, 说明 ${\displaystyle 1\le \omega \le 2}$, 所以 ${\displaystyle \frac{\omega \pi }{2}\le \pi <\frac{3\pi }{2}}$, 这样 ${\displaystyle I}$ 就不能包含最小值点了.
既然 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ 不在 ${\displaystyle I}$ 中, 那 ${\displaystyle I}$ 的最右端至少得比下一个最大值点 ${\displaystyle \frac{5\pi }{2}}$ 大, 也即 $$\frac{\omega \pi }{2}\ge \frac{5\pi }{2}\Rightarrow \omega \ge 5,$$ 而 ${\displaystyle \omega =5}$ 时 ${\displaystyle [\frac{5\pi }{4},\frac{5\pi }{2}]}$ 恰好包含了 ${\displaystyle \frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}}$, 成立! 所以 ${\displaystyle \omega }$ 的最小值为 ${\displaystyle 5}$.