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设集合 ${\displaystyle \mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4\}}$, 从 ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ 中不放回地随机抽取三个元素, 分别记为 ${\displaystyle x_1,x_2,x_3}$, 求事件"${\displaystyle {\log }_2{x}_1+{\log }_3{x}_2>2{\log }_4{x}_3}$"发生的概率.

依据换底公式, 事件等价于 $$\frac{\lg x_1}{\lg 2}+\frac{\lg x_2}{\lg 3}>\frac{\lg x_3}{\lg 2}⟺{\log }_3{x}_2>{\log }_2\frac{x_3}{x_1}.$$ 注意到 ${\displaystyle {\log }_3{x}_2\ge {\log }_{3}1=0}$.

• 当 ${\displaystyle \frac{x_3}{x_1}<1}$, 这个事件显然成立, 取法有 ${\displaystyle C_4^3\times 2=12}$ 种.
• 当 ${\displaystyle \frac{x_3}{x_1}>1}$, 关于 ${\displaystyle x_2}$ 进行讨论.
  • 当 ${\displaystyle x_2=1}$, 事件不成立.
  • 当 ${\displaystyle x_2=2}$, 有 $${\log }_{3}2+{\log }_{2}3>2\sqrt{{\log }_{3}2\cdot {\log }_{2}3}=2={\log }_{2}4,$$ 所以 ${\displaystyle {\log }_{3}2>{\log }_2\frac{4}{3}}$, 所以 ${\displaystyle (x_1,x_3)}$ 只能取 ${\displaystyle (3,4)}$.
  • 当 ${\displaystyle x_2=3}$, 事件等价于 ${\displaystyle 1>{\log }_2\frac{x_3}{x_1}}$, 也即 ${\displaystyle x_1>2x_3}$. 在 ${\displaystyle \{1,2,4\}}$ 里面取不到结果.
  • 当 ${\displaystyle x_2=4}$, 有 ${\displaystyle {\log }_{3}4>1>{\log }_{2}2}$, 所以 ${\displaystyle (x_1,x_3)}$ 可取 ${\displaystyle (1,2)}$ 或 ${\displaystyle (2,3)}$. 但是 $${\log }_{2}3=\frac{\lg 3}{\lg 2}>\frac{\lg 3+\lg \frac{3}{2}}{\lg 2+\lg \frac{3}{2}}>\frac{\lg 4}{\lg 3}={\log }_{3}4,$$ 所以 ${\displaystyle (1,3)}$ 不可取.

综上, 共有 ${\displaystyle 15}$ 种组合, 而总共的取法为 ${\displaystyle A_4^3=24}$, 所以概率为 ${\displaystyle \frac{5}{8}}$.