1677

在 ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中, 若 ${\displaystyle \frac{c\cos A}{a\cos C}+\frac{2c\cos B}{b\cos C}=3}$, 则 ${\displaystyle \frac{1}{\tan A}+\frac{2}{\tan B}}$ 的最小值为_____.

将条件式变形为 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \tan C(\frac{1}{\tan A}+\frac{2}{\tan B})=3.\end{array}$$ 记 ${\displaystyle \frac{1}{\tan A}+\frac{2}{\tan B}=t}$, 则 ${\displaystyle t>0}$ (否则 ${\displaystyle t<0,\tan C<0}$, ${\displaystyle \mathrm{\Delta }ABC}$ 中有两个钝角, 矛盾). 然后简记 ${\displaystyle \cot A=x}$, 则 ${\displaystyle \cot B=\frac{t-x}{2}}$. 而 $$\tan C=-\tan (A+B)=-\frac{\cot A+\cot B}{\cot A\cot B-1}=-\frac{t+x}{x(t-x)-2},$$ 回代入 (1) 有 $$-\frac{(t+x)t}{x(t-x)-2}=3\Rightarrow 3x^2-4tx+6-t^2=0.$$ 要使这个方程有解, 判别式 $$\mathrm{\Delta }=16t^2-12(6-t^2)\ge 0\Rightarrow t\ge \frac{3\sqrt{14}}{7}.$$

简记 ${\displaystyle \cot A=x}$, ${\displaystyle \cot B=y}$. 根据上面的推导, ${\displaystyle \cot C=\frac{x+2y}{3}}$; 再根据三角形内角关系 ${\displaystyle \cot C=-\cot (A+B)}$, 联立得到 $$\frac{x+2y}{3}=\frac{1-xy}{x+y}\Rightarrow x^2+6xy+2y^2=3.$$ 注意到 $$(x+2y{)}^2-\frac{6}{7}(x^2+6xy+2y^2)=\frac{1}{7}(x-4y{)}^2\ge 0,$$ 则 ${\displaystyle x+2y\ge \sqrt{\frac{6}{7}(x^2+6xy+2y^2)}=\frac{3\sqrt{14}}{7}}$.

我们可以待定 ${\displaystyle (x+2y{)}^2-k(x^2+6xy+2y^2)=0}$, 然后令这个方程的判别式为 ${\displaystyle 0}$, 解得 ${\displaystyle k=\frac{6}{7}}$.